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6 反常积分 | 花野猫的数字花园

6 反常积分

6 反常积分

更新于 2026-09-06

— 6599 字

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一、无穷区间上的反常积分

定义 (1) 设 $f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的连续函数，如果极限 $\lim_{t \to +\infty}\int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即

相关内容

文章大纲

一、无穷区间上的反常积分
相关例题
二、无界函数的反常积分
常用结论

文章 ID: 590

相关内容

5.1.4 定积分的性质
更新于2026-09-06
5.3 积分上限函数
更新于2026-09-06
5.1.3 定积分的几何意义
更新于2026-09-05
5.1 定积分的定义
更新于2026-09-04
4.2 不定积分基本公式
更新于2026-09-02

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at

f

(

x

)

d

x

f(x)

[a,+\infty)

\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x

\int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{t \to +\infty}\int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x,

这时也称反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛. 如果上述极限不存在，则称反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散.

(2) 设 $f(x)$ 为 $(-\infty,b]$ 上的连续函数，则可类似的定义函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty,b]$ 上的反常积分

\int_{-\infty}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{t \to -\infty}\int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x.

(3) 设 $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数，如果反常积分

\int_{-\infty}^{0} f(x)\mathrm{d}x \quad \text{和} \quad \int_{0}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x

都收敛，则称反常积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{0} f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x.

如果 $\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 至少有一个发散，则称 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散.

定理1（比较判别法） 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)$ ，则

当 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛时， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛.
当 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散时， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 发散.

定理2（比较判别法的极限形式） 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上非负连续，且 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ (有限或无穷)，则

当 $\lambda \neq 0$ 时， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 同敛散.
当 $\lambda = 0$ 时，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛.
当 $\lambda = +\infty$ 时，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 也发散.

常用结论：

\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x \begin{cases} p>1,&\text{收敛},\\ p\leqslant1,&\text{发散}, \end{cases}\quad(a>0).

陈汉版：

常用结论(1)

\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} p>1, & \text{收敛} \\ p\leq 1, & \text{发散} \end{cases} (a>0); \quad \int_0^a \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} p<1, & \text{收敛} \\ p\geq 1, & \text{发散} \end{cases} (a>0)

常用结论(2)

\int_0^a \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}\,dx \begin{cases} \alpha<1, & \text{收敛} \\ \alpha=1,\ \beta>1, & \text{收敛} \\ \text{其它情况皆发散} \end{cases}; \quad \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}\,dx \begin{cases} \alpha>1, & \text{收敛} \\ \alpha=1,\ \beta>1, & \text{收敛} \\ \text{其它情况皆发散} \end{cases}

相关例题

【例1】判别下列反常积分的敛散性. (1) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ . (2) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ .

解【方法1】 (1) 由于

\frac{\sqrt{x}}{1+x^{2}}<\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}},

而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{\frac{3}{2}}}$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ 收敛.

(2) 由于

\frac{x}{1+x^{2}}\geqslant\frac{x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x}{2x^{2}}=\frac{1}{2x},

而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{2x}$ 发散，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ 发散.

也可用定义判定敛散性，由于

\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x=\left.\frac12\ln(1+x^{2})\right|_{1}^{+\infty}=+\infty,

则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ 发散.

【方法2】 (1) 由于

\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{x}}{1+x^{2}}}{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1\neq0,

而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{\frac{3}{2}}}$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ 收敛.

(2) 由于

\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{x}{1+x^{2}}}{\frac1x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1,

而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x}$ 发散，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}\mathrm{d}x$ 发散.

二、无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界，那么点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点(也称为无界点).无界函数的反常积分也称为瑕积分.

定义 (1) 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点. 如果极限

\lim_{t \to a^{+}}\int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x

存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分，记作 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ ，即

\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{t \to a^{+}}\int_{t}^{b} f(x)\mathrm{d}x,

这时也称反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛. 如果上述极限不存在，则称反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 发散.

(2) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续，点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点. 则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分

\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{t \to b^{-}}\int_{a}^{t} f(x)\mathrm{d}x.

(3) 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上除点 $c\ (a<c<b)$ 外连续，点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点. 如果反常积分

\int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x \quad \text{和} \quad \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x

都收敛，则称反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且

\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x.

如果 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 至少有一个发散，则称 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 发散.

定理1（比较判别法） 设 $f(x),g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)$ ， $x=a$ 为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的瑕点，则

当 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛时， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛.
当 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 发散时， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$ 发散.

定理2（比较判别法的极限形式） 设 $f(x),g(x)$ 在 $(a,b]$ 上非负连续，且 $\displaystyle \lim_{x \to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ (有限或无穷)，则

当 $\lambda \neq 0$ 时， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$ 同敛散.
当 $\lambda = 0$ 时，若 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛.
当 $\lambda = +\infty$ 时，若 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 也发散.

常用结论

\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^{p}}\mathrm{d}x \begin{cases} p<1,&\text{收敛},\\ p\geqslant1,&\text{发散}. \end{cases}

\int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^{p}}\mathrm{d}x \begin{cases} p<1,&\text{收敛},\\ p\geqslant1,&\text{发散}. \end{cases}

【例2】判别反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 的敛散性.

解该反常积分的被积函数有两个无界点， $x=0$ 和 $x=1$ ，

\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}=\int_{0}^{\frac12}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}+\int_{\frac12}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}.

由于

\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}}{\frac1{x^{\frac12}}} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\sqrt{1-x}}=1,

而 $\displaystyle \int_{0}^{\frac12}\frac{1}{x^{\frac12}}\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac12}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 收敛.

又

\lim_{x\to1^{-}}\frac{\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}}{\frac1{(1-x)^{\frac12}}} =\lim_{x\to1^{-}}\frac1{\sqrt{x}}=1,

而 $\displaystyle \int_{\frac12}^{1}\frac{1}{(1-x)^{\frac12}}\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{\frac12}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 收敛.

故 $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 收敛.

5.1.4 定积分的性质

更新于2026-09-06

5.3 积分上限函数

更新于2026-09-06

5.1.3 定积分的几何意义

更新于2026-09-05

5.1 定积分的定义

更新于2026-09-04

4.2 不定积分基本公式

更新于2026-09-02

+∞

g

(

x

)

d

x

∫a+∞f(x)dx

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x

p≥1,

收敛发散

(

a

>

收敛

收敛

收敛

收敛

d

x

=

d

x

b

g

(

x

)

d

x

∫

ab

f

(

x

)

d

x

∫ab

f

(

x

)

d

x

dx

+

dx

.

=

x

−

x2

dx

=

x

−

x2

dx