5.5 反常积分 | 花野猫的数字花园一、无穷区间上的反常积分
定义
(1) 设 f(x) 为 [a,+∞) 上的连续函数，如果极限
limt→+∞∫
存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作，即
at
f
(
x
)
d
x
∫a+∞f(x)dx ∫a+∞f(x)dx=t→+∞ 这时也称反常积分∫a+∞f(x)dx收敛. 如果上述极限不存在，则称反常积分∫a.
(2) 设 f(x) 为 (−∞,b] 上的连续函数，则可类似的定义函数 f(x) 在无穷区间 (−∞,b] 上的反常积分
∫−∞bf(x)dx=t→−∞ (3) 设 f(x) 为 (−∞,+∞) 上的连续函数，如果反常积分
∫−∞0f(x)dx和∫0 都收敛，则称反常积分∫−∞+∞f(x)dx收敛，且
∫−∞+∞f(x)dx=∫ 如果∫−∞0f(x)dx与∫0至少有一个发散，则称发散.
定理1（比较判别法）
设 f(x),g(x) 在 [a,+∞) 上连续，且 0⩽f(x)⩽g(x，则
- 当∫a+∞g(x)dx收敛时，∫a收敛.
定理2（比较判别法的极限形式）
设 f(x),g(x) 在 [a,+∞) 上非负连续，且x→+∞(有限或无穷)，则
- 当 λ=0 时，∫a+∞f(x)dx与同敛散.
∫a+∞x ∫a ∫
无穷区间上的反常积分相关例题
【例1】判别下列反常积分的敛散性.
(1)∫1+∞1+x2. (2).
1+x2x 而∫1+∞x2收敛，则收敛.
1+x2x⩾x 而∫1+∞2xdx发散，则发散.
∫1+∞1+x2 则∫1+∞1+x2xdx发散.
x→+∞limx 而∫1+∞x2收敛，则收敛.
x→+∞limx1 而∫1+∞xdx发散，则发散.
二、无界函数的反常积分
如果函数 f(x) 在点 a 的任一邻域内都无界，那么点 a 称为函数 f(x) 的瑕点(也称为无界点).无界函数的反常积分也称为瑕积分.
定义
(1) 设函数 f(x) 在 (a,b] 上连续，点 a 为函数 f(x) 的瑕点. 如果极限
t→a+lim∫tbf(x)dx 存在，则称此极限为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的反常积分，记作∫abf(x)dx，即
∫abf(x)dx=t→a 这时也称反常积分∫abf(x)dx收敛. 如果上述极限不存在，则称反常积分∫a.
(2) 设函数 f(x) 在 [a,b) 上连续，点 b 为函数 f(x) 的瑕点. 则可类似的定义函数 f(x) 在区间 上的反常积分
∫abf(x)dx=t→b (3) 设函数 f(x) 在 [a,b] 上除点 c (a<c<b) 外连续，点 c 为函数 的瑕点. 如果反常积分
∫acf(x)dx和∫cb 都收敛，则称反常积分∫abf(x)dx收敛，且
∫abf(x)dx=∫a 如果∫acf(x)dx与∫c至少有一个发散，则称发散.
定理1（比较判别法）
设 f(x),g(x) 在 (a,b] 上连续，且 0⩽f(x)⩽g(x)， 为 和 的瑕点，则
- 当∫abg(x)dx收敛时，∫a收敛.
定理2（比较判别法的极限形式）
设 f(x),g(x) 在 (a,b] 上非负连续，且x→a(有限或无穷)，则
- 当 λ=0 时，∫abf(x)dx与同敛散.
常用结论
∫ab(x−a) ∫ab(b−x) 无界函数的反常积分相关例题
【例2】判别反常积分∫01x−x2的敛散性.
解
该反常积分的被积函数有两个无界点，x=0 和 x=1，
∫01x− x→0+lim 而∫021x收敛，则收敛.
x→1−lim 而∫211(1−收敛，则收敛.
故∫01x−x2收敛.
反常积分技巧与相关例题
常用结论
| 积分形式 | 瑕/无穷端点 | a 的取值条件 | 收敛条件 |
|---|
| ∫a+∞xp |
| 积分形式 | 瑕/无穷端点 | 端点取值条件 | 收敛条件 |
|---|
| ∫1b(x−1)αln |
【例 3】（2015，数二）下列反常积分中收敛的是
(A) ∫2+∞x (C) ∫2+∞xlnx1
f(x)=⎩⎨ 若反常积分 ∫1+∞f(x)dx 收敛，则
(A) α<−2.(B) α>2.(C) −2<α<0.(D) 0<α ∫1+∞f(x)dx=∫ ∫1+∞f(x)dx 收敛等价于 ∫ 与 都收敛，而
∫1e(x−1)α−11d 当且仅当 α−1<1，即 α<2 时收敛。
∫e+∞xlnα+1x 而 ∫1+∞uα+1du 当且仅当 ，即 时收敛。
故若 ∫1+∞f(x)dx 收敛，则 0<α<2，故应选 (D)。
【例 5】（2016，数二）反常积分 ∫−∞0x21e， 的敛散性为
(A) 收敛，收敛.(B) 收敛，发散.(C) 发散，收敛.(D) 发散，发散. ∫−∞0x ∫0+∞x21
【例 6】（2016，数一）反常积分 ∫0+∞xa(1+x)b 收敛，则
(A) a<1, b>1.(B) a>1, b>1.(C) a ∫0+∞x x→0+limxa 则当 a<1 时，∫01xa(1 收敛；
x→+∞limx 则当 a+b>1 时，∫1+∞x 收敛。
故当 a<1，a+b>1 时，∫0 收敛。
【例 7】（2000，数二）∫2+∞(x+7)x−2
【方法 1】 令 x−2=t，则 dx=2tdt，
原式=∫0+∞t(9+ 原式=∫2+∞9
【例 8】（2000，数四）计算 I=∫1+∞ex+e
【例 9】（2013，数一、三）∫1+∞(1+x)2ln
心得笔记
武忠祥高等数学基础这本书，目录的组织形式很奇葩，一章里面，有的章分节，有的章不分节，这为我的图文笔记的编排造成了麻烦。我选择直接把节这个东西给扁平化了。5.4 是定积分下面的定积分的计算，那后面的反常积分，直接弄成5.5了。同时，按照陈汉的讲法，把反常积分的内容简化了，无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分合并成一个小节了。
按照陈汉的讲法，反常积分的敛散性，其判断，都可以转化成 p积分，及其补充形式，就四条。要注意的就是，补充形式当中 lnx 实际上会在 x=1处产生瑕点，有这个形式的话，积分上下限其实是不能跨越1的，如果跨越1，分段讨论后，利用等价无穷小替换 lnx 为 ln(1+x-1)，再按照结论中的方法去判定
lim
∫at
f
(
x
)
d
x
,
+∞
f
(
x
)
d
x
发散
lim
∫tb
f
(
x
)
d
x
.
+
∞
f
(
x
)
d
x
−∞
0
f
(
x
)
d
x
+
∫0+∞f(x)dx.
+∞
f
(
x
)
d
x
∫−∞+∞f(x)dx )
+∞
f
(
x
)
d
x
当∫a+∞f(x)dx发散时，∫a+∞g(x)dx发散. lim
g(x)f(x)
=
λ
∫a+∞g(x)dx
当 λ=0 时，若∫a+∞g(x)dx收敛，则∫a+∞f(x)dx也收敛. 当 λ=+∞ 时，若∫a+∞g(x)dx发散，则∫a+∞f(x)dx也发散.
p
1
d
x
{p>1,p⩽1,收敛,发散,
(
a
>
0).
+∞
xp1
d
x
{p>1,p≤1,收敛发散
(
a
>
0);∫0axp1dx{p<1,p≥1,收敛发散(a>
0)
0a
xαlnβx1
d
x
⎩⎨⎧α<1,α=1, β>1,其它情况皆发散收敛收敛
;
∫a+∞
xαlnβx1
d
x
⎩⎨⎧α>1,α=1, β>1,其它情况皆发散收敛收敛 x
d
x
∫1+∞1+x2xdx
<
x231,
3
dx
∫1+∞1+x2xdx
2
+
x2
x
=
2x2x=
2x1,
∫1+∞1+x2xdx
x
d
x
=
+∞,
23
1
=
x→+∞lim1+x2x2=
1=
0,
3
dx
∫1+∞1+x2xdx
1+x2x
=
x→+∞lim1+x2x2=
1,
∫1+∞
1+x2x
d
x
+
lim
∫tb
f
(
x
)
d
x
,
b
f
(
x
)
d
x
发散
[a,b]
−
lim
∫at
f
(
x
)
d
x
.
f(x)
f
(
x
)
d
x
c
f
(
x
)
d
x
+
∫cbf(x)dx.
b
f
(
x
)
d
x
∫abf(x)dx x=a
b
f
(
x
)
d
x
当∫abf(x)dx发散时，∫abg(x)dx发散. +
lim
g(x)f(x)
=
λ
∫abg(x)dx
当 λ=0 时，若∫abg(x)dx收敛，则∫abf(x)dx也收敛. 当 λ=+∞ 时，若∫abg(x)dx发散，则∫abf(x)dx也发散. p
1
d
x
{p<1,p⩾1,收敛,发散.
p
1
d
x
{p<1,p⩾1,收敛,发散.
dx
x
2
dx
=
x21
1
=
1,
21
1
d
x
∫021x−x2dx (1−x)21
1
=
1,
x
)21
1
d
x
∫211x−x2dx
dx
1
d
x
| ∫a+∞xαlnβx1dx | 无穷上限 +∞ | a>1 | α>1，或 α=1,β>1 |
| ∫0axq1dx | 瑕点 x=0 | a>0 | q<1 |
| ∫0axα∣lnx∣β1dx | 瑕点 x=0 | 0<a<1 | α<1，或 α=1,β>1 |
β
x
1
d
x
| α+β<1 |
| ∫a1(1−x)α∣lnx∣β1dx | 瑕点 x=1 | 0<a<1 | α+β<1 |
1
d
x
.
(B)
∫2+∞
xlnx
d
x
.
d
x
.
(D)
∫2+∞
exx
d
x
.
∫2+∞exxdx
=∫2+∞xe−xdx=−∫2+∞xde−x=−xe−x2+∞+∫2+∞=2e−2−e−x2+∞=3e ⎧
(x−1)α−11,xlnα+1x1,1<x<e,x⩾e.
<
2.
1e
(x−1)α−1dx
+
∫e+∞xlnα+1xdx.
1
e
(x−1)α−1dx
∫e+∞xlnα+1xdx x
dx
=
∫1+∞uα+1du,
α+1>1
x1
d
x
∫0+∞x21ex1dx 2
1
ex1
d
x
=
−∫−∞0ex1dx1=
1, 收敛.
ex1
d
x
=
+∞, 发散.
1
d
x
<
1, a+
b>
1.(D) a>
1, a+
b>
1.
a
(
1
+
x
)b
1
d
x
=
∫01xa(1+x)bdx+
∫1+∞xa(1+x)bdx,
1
xa(1+x)b1
=
1,
+
x
)b
dx
a+b
1
xa(1+x)b1
=
x→+∞lim(1+x1)b1=
1,
a
(
1
+
x
)b
dx
+
∞
xa(1+x)bdx
dx
=
.
t
2
)
2tdt
=
3π.
+
(
)2
=
3π.
2−x
dx
.
∫1+∞ex+e2−xdx=∫1+∞e2x+e2e
x
d
x
=
.
∫1+∞(1+x)2lnxdx=−∫1+∞lnxd(1+x1)=−
e−x
d
x
−2
.
x
d
x
=
∫1+∞
e2+(ex)2dex
=e1arctaneex1+∞=e1(2π−4π) =4eπ.
1+xlnx
+
∫1+∞
x(1+x)dx
=ln1+xx1+∞=−ln21=ln2.
