5.1.3 定积分的几何意义

(2) 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le 0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于以曲线 $y=f(x)$，$x=a$，$x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积的负值。

(3) 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的值有正也有负，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于 $x$ 轴上方的面积减去 $x$ 轴下方的面积所得之差。

定积分的几何意义相关例题

【例5】（2007，数一、二、三）

如图2，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设 $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$，则下列结论正确的是

(A)$F(3)=-\dfrac{3}{4}F(-2)$ (B)$F(3)=\dfrac{5}{4}F(2)$ (C)$F(-3)=\dfrac{3}{4}F(2)$ (D)$F(-3)=-\dfrac{5}{4}F(-2)$

解 【方法1】

则 $\boldsymbol{F(-3)=\dfrac{3}{4}F(2)}$。 故选(C)。

【方法2】 由定积分的几何意义知 $(F(2)>F(3)>0)$。 又由 $f(x)$ 的图形可知，$f(x)$ 为奇函数，则 $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ 为偶函数，故

故选(C)。

例6（1997，数一、二）

设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)>0,,f'(x)<0,,f''(x)>0$。令 $S_1=\int_{a}^{b}f(x)dx,\ S_2=f(b)(b-a),\ S_3=\dfrac12\big[f(a)+f(b)\big](b-a)$，则

(A)$S_1<S_2<S_3$ (B)$S_2<S_1<S_3$ (C)$S_3<S_1<S_2$ (D)$S_2<S_3<S_1$

图3：递减凹曲线，曲边梯形、矩形、梯形面积对比。

解 由 $f(x)>0,,f'(x)<0,,f''(x)>0$ 可画出 $f(x)$ 图形。 由函数的几何意义可知： $S_1$ 为曲边梯形 $(\overline{AB})CD$ 的面积。 $S_2$ 为矩形 $E(\overline{BC})D$ 的面积。 $S_3$ 为梯形 $(\overline{AB})CD$ 的面积。

故 $\boldsymbol{S_2<S_1<S_3}$，选(B)。

例7（2011，数一、二、三）

设 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\sin xdx,\ J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\cot xdx,\ K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos xdx$，则 $(I,J,K)$ 的大小关系为

(A)$(I<J<K)$ (B)$((\boldsymbol{I<K<J}))$ (C)$(J<I<K)$ (D)$(K<J<I)$

解 当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$ 时，

又 $\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则

故 $\boldsymbol{((\boldsymbol{I<K<J}))}$。选(B)。

例8（2017，数二）

设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=f(-1)=1,,f(0)=-1$，且 $f''(x)>0$，则

(A)$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx>0$ (B)$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx<0$ (C)$\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx>\int_{0}^{1}f(x)dx$ (D)$\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx<\int_{0}^{1}f(x)dx$

图4：凹曲线过 $(-1,1),(0,-1),(1,1)$。

解 【方法1】几何法 由题设知曲线 $y=f(x)$ 过点 $A(-1,1),B(0,-1)$ 和 $(C(1,1))$，且是凹的。连接 $(\overline{AB})$ 和 $(\overline{BC})$，得两条线段 $\overline{(\overline{AB})}$ 和 $\overline{(\overline{BC})}$，设这两条线段对应的函数为 $(y=(g(x)))$，由于 $y=f(x)$ 在 $[-1,1]$ 是凹的，则

则

($f(x)$ 与 $(g(x))$ 只在三点的函数值相等)

由定积分几何意义知 $\displaystyle\int_{-1}^{0}(g(x))dx=0,\ \int_{0}^{1}(g(x))dx=0$， 则 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(g(x))dx=0$，故应选(B)。

【方法2】具体函数排除法 若取 $f(x)=2x^2-1$，显然符合题设条件，由于 $f(x)$ 是偶函数，则 $\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx$，则(C)(D)都不正确。又

则(A)不正确，故应选(B)。

例9（1991，数一、二）

设函数 $f(x)$ 在 $([0,1])$ 上连续，$((0,1))$ 内可导，且 $\displaystyle 3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(0)$，证明在 $((0,1))$ 内存在一点 $c$，使 $f'(c)=0$。

证 由积分中值定理知，存在 $\xi\in\left(\dfrac{2}{3},1\right)$，使得

由罗尔定理知，存在 $c\in(0,\xi)$，使 $f'(c)=0$。

心得笔记

求解2007年真题时，我犯的错误是：题F(-2)是在 [0,-2]上的积分，即使图形在x轴上方，要知道 [-2,0] 上的积分因为上下限对调了，要取相反数，就变成负了。还考虑F(x) 是原函数，是个偶函数，这样去确定某个点原函数值的正负会更直观。