5.1.3 定积分的几何意义

(2) 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le 0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于以曲线 ，， 及 轴所围成的曲边梯形面积的负值。

(3) 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的值有正也有负，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于 轴上方的面积减去 轴下方的面积所得之差。

定积分的几何意义相关例题

【例5】（2007，数一、二、三）

如图2，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设 ，则下列结论正确的是

(A)$F(3)=-\dfrac{3}{4}F(-2)$ (B)$F(3)=\dfrac{5}{4}F(2)$ (C) (D)

解 【方法1】

则 $\boldsymbol{F(-3)=\dfrac{3}{4}F(2)}$。 故选(C)。

【方法2】 由定积分的几何意义知 $(F(2)>F(3)>0)$。 又由 $f(x)$ 的图形可知，$f(x)$ 为奇函数，则 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)$ 为偶函数，故

故选(C)。

例6（1997，数一、二）

设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)>0,,f'(x)<0,,f''(x)>0$。令 ，则

(A)$S_1<S_2<S_3$ (B)$S_2<S_1<S_3$ (C) (D)

解 由 $f(x)>0,,f'(x)<0,,f''(x)>0$ 可画出 图形。 由函数的几何意义可知： 为曲边梯形 的面积。 为矩形 的面积。 为梯形 的面积。

故 $\boldsymbol{S_2<S_1<S_3}$，选(B)。

例7（2011，数一、二、三）

设 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\sin xdx,\ J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\cot xdx,\ K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos xdx$，则 的大小关系为

(A)$(I<J<K)$ (B)$((\boldsymbol{I<K<J}))$ (C)$(J<I<K)$ (D)

解 当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$ 时，

又 $\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则

故 $\boldsymbol{((\boldsymbol{I<K<J}))}$。选(B)。

例8（2017，数二）

设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=f(-1)=1,,f(0)=-1$，且 $f''(x)>0$，则

(A)$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx>0$ (B)$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx<0$ (C) (D)

解 【方法1】几何法 由题设知曲线 $y=f(x)$ 过点 $A(-1,1),B(0,-1)$ 和 $(C(1,1))$，且是凹的。连接 和 ，得两条线段 和 ，设这两条线段对应的函数为 ，由于 在 是凹的，则

则

($f(x)$ 与 $(g(x))$ 只在三点的函数值相等)

由定积分几何意义知 $\displaystyle\int_{-1}^{0}(g(x))dx=0,\ \int_{0}^{1}(g(x))dx=0$， 则 ，故应选(B)。

【方法2】具体函数排除法 若取 $f(x)=2x^2-1$，显然符合题设条件，由于 $f(x)$ 是偶函数，则 $\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx$，则(C)(D)都不正确。又

则(A)不正确，故应选(B)。

例9（1991，数一、二）

设函数 $f(x)$ 在 $([0,1])$ 上连续，$((0,1))$ 内可导，且 $\displaystyle 3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(0)$，证明在 内存在一点 ，使 。

证 由积分中值定理知，存在 $\xi\in\left(\dfrac{2}{3},1\right)$，使得

由罗尔定理知，存在 $c\in(0,\xi)$，使 $f'(c)=0$。

心得笔记

求解2007年真题时，我犯的错误是：题F(-2)是在 [0,-2]上的积分，即使图形在x轴上方，要知道 [-2,0] 上的积分因为上下限对调了，要取相反数，就变成负了。还考虑F(x) 是原函数，是个偶函数，这样去确定某个点原函数值的正负会更直观。

例六算术平均值要知道两点之间我做直线线，然后他们的中点的高度其实就代表着这个上述平均值的高度了。那其实还可以结合凹函数的定义来看的

例七要知道，在0~2分之派的时候，这个sine x是小于cos x的，并且呢cot是cos/sin，sin四分之派等于二分之根2＜1，当cos x÷一个小于1的数，它就比cos x要大，另外就是cot x的图像不熟悉，如果熟悉的话一画图就能看出来了，cotx是远远要大于cosx的。

例八的话，对于一些这个定积分比较的问题，给的启示就是首先要想到做直线，把凹函数的曲线跟直线来比较，而直线的一画出来这个面积就很直观。

tikz 源码

\documentclass[tikz,border=5pt]{standalone}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=1.2]
  % 坐标轴
  \draw[->] (-0.5,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,4) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  % 关键点坐标 (基于 f(x)=3/x, x从1到5)
  \coordinate (D) at (1,0);
  \coordinate (C) at (5,0);
  \coordinate (A) at (1,3);
  \coordinate (B) at (5,0.6);
  \coordinate (E) at (1,0.6);
  % 边框与辅助线
  \draw (D) -- (C);          % x轴上的底边
  \draw (C) -- (B);          % 右侧竖线 BC
  \draw (D) -- (A);          % 左侧竖线 DA
  \draw (E) -- (B);          % 中间水平线 EB
  % 直线 AB (弦)
  \draw (A) -- (B);
  % 曲线 f(x) = 3/x (使用 plot 绘制标准反比例函数)
  \draw[thick, domain=1:5, smooth, variable=\x] plot ({\x}, {3/\x});
  
  % f(x) 标签位置 (放在曲线和弦之间)
  \node at (2.2, 1.6) {$f(x)$};
  % x轴下方的标签 (还原原图 D, a 和 b, C 的相对位置)
  \node[below left] at (D) {$D$};
  \node[below right] at (D) {$a$};

例5（2007 真题）｜ 变限积分正负判断与奇偶性转化

• 易错点剖析：计算变上限积分 F(-2) = 积分从0到-2 f(t)dt 时，下限大于上限，必须先调换上下限加负号，即等于负的 [积分从-2到0 f(t)dt]。在区间 [-2, 0] 上图形位于 x 轴下方，积分值为负，负负得正，因此 F(-2) 大于 0。（注：原表述中“变成负了”为笔误，实际应为正）。
• 对称性秒杀技巧：被积函数 f(x) 关于原点对称，是奇函数；积分下限为 0，所以其变上限积分 F(x) 必然是偶函数。直接可得 F(-2) = F(2) > 0、F(-3) = F(3) > 0。利用偶函数的性质来判断符号，比推导上下限颠倒更加直观，且不容易出错。

例6（1997 真题）｜ 凹凸性、弦与梯形面积的对应关系

• 几何对应关系：
  • S1 为曲边梯形的面积（即区间 [a, b] 上曲线下方的面积）。
  • S2 为矩形面积，底为 (b - a)，高为右端点函数值 f(b)。
  • S3 为直角梯形面积，上底加下底除以二即为平均高度 [f(a) + f(b)] / 2，高为 (b - a)。
• 核心理解：平均值 [f(a) + f(b)] / 2 对应的就是梯形中位线的高。因为二阶导数大于 0（函数图像为凹曲线/下凸），连接两个端点的连线（割线/弦）始终处于曲线的上方，因此割线围成的直角梯形面积 S3 必然大于曲边梯形面积 S1，得出 S3 > S1。

例7（2011 真题）｜ 第一象限三角函数的相对大小与单调性

• 大小比较结论：在区间 (0, pi/4) 内，大小关系恒为：sin x < cos x < cot x。
• 推导逻辑：
  • 在 0 到 pi/4 之间，正弦小于余弦，即 sin x < cos x。
  • 余切定义为 cot x = cos x / sin x。在此区间内，sin x 处于 0 到 二分之根号二 之间，始终小于 1。一个正数 cos x 除以一个小于 1 的正数，数值必然变大，所以 cos x < cot x。
  • 结合 y = ln u 在正半轴上单调递增，可以直接得到被积函数的相对大小，从而确定定积分的大小。同时，熟悉 cot x 从 0 处的正无穷递减到 pi/2 处为 0 的图像，也能秒出其在 pi/4 左侧远大于 1 的事实。

例8（2017 真题）｜ 凹凸性定积分比较的核心工具——割线放缩法

• 思维模型：遇到抽象函数在给定区间上的定积分正负或大小比较时，只要条件给出二阶导数大于 0（凹函数），优先考虑做两端点或特征点之间的连线（割线 g(x)）。
• 应用技巧：
  • 凹函数曲线恒在割线下方，即 f(x) <= g(x)。
  • 割线围成的是规则的三角形或几何块，其积分可以通过面积直接口算（本题中割线上下的面积刚好抵消为 0）。
  • 通过积分 f(x)dx < 积分 g(x)dx = 0，可以极快地锁定答案。