5.1 定积分的定义

(2) 求和. 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i,$ 记 $\lambda = \max{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n}$。

(3) 取极限. 若极限 $\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$ 存在，且此极限值既不依赖于区间 $[a,b]$ 的分法，也不依赖于点 $\xi_i$ 的取法，则称 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，并称此极限为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记为 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$，即

$\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i.$

【注】 (1) 定积分表示一个数值，仅与积分区间 $[a,b]$ 和被积函数 $f(x)$ 有关，与积分变量 $x$ 无关，因此有 $\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(t)\mathrm{d}t.$

(2) 若积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$，且极限 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$ 与 $\xi_i$ 的取法和区间 $[a,b]$ 的分法无关。

因此，如果积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x$ 存在，就可将 $([0,1])$ 区间 $n$ 等分，此时 $\Delta x_i=\dfrac{1}{n}$，取 $\xi_i=\dfrac{i}{n}$，由定积分的定义得 $\int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right).$ 上式在用定积分定义求极限时是一种常见形式。

函数(f(x))从a到b的定积分，等于，分割区间的最大细度(\lambda)趋于零时，i从1取到n，f在(\xi_i)点的函数值乘以小区间长度(\Delta x_i)所作和式的极限。

2. 定积分存在的充分条件

• 定理 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 必定存在。
• 定理 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 必定存在。
• 定理 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 必定存在。

3. 定积分的几何意义

见：几何意义

定积分的定义相关例题

例1 $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\dots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=\underline{\quad\quad}.$

解： $\begin{aligned} \text{原式} &=\lim_{n \to \infty}\frac1n\left[\frac{\frac1n}{1+\left(\frac1n\right)^2}+\frac{\frac2n}{1+\left(\frac2n\right)^2}+\dots+\frac{\frac{n}{n}}{1+\left(\frac{n}{n}\right)^2}\right] \quad(\text{提可爱因子}\frac1n)\ &=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x\ &=\frac12\ln(1+x^2)\bigg|_{0}^{1}=\boldsymbol{\frac12\ln 2}. \end{aligned}$

例2（2012，数二） $\lim_{n \to \infty}n\left(\frac{1}{1+n^2}+\frac{1}{2^2+n^2}+\dots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)=\underline{\quad\quad}.$

解： $\begin{aligned} \text{原式} &=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n^2}\left[\frac{1}{1+\left(\frac1n\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\frac2n\right)^2}+\dots+\frac{1}{1+\left(\frac{n}{n}\right)^2}\right]\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\ &=\arctan x\bigg|_{0}^{1}. \end{aligned}$

例3（2016，数二、三） $\lim_{n \to \infty}\frac1{n^2}\left(\sin\frac1n+2\sin\frac2n+\dots+n\sin\frac{n}{n}\right)=\underline{\quad\quad}.$

解： $\begin{aligned} \text{原式} &=\lim_{n \to \infty}\frac1n\left(\frac1n\sin\frac1n+\frac2n\sin\frac2n+\dots+\frac{n}{n}\sin\frac{n}{n}\right)\\ &=\int_{0}^{1}x\sin x,\mathrm{d}x =-\int_{0}^{1}x,\mathrm{d}(\cos x)\\ &=-x\cos x\bigg|{0}^{1}+\int{0}^{1}\cos x,\mathrm{d}x\\ &=-\cos 1+\sin x\bigg|_{0}^{1}\\ &=\boldsymbol{\sin 1-\cos 1}. \end{aligned}$

例4（2017，数一、二、三） $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)=\underline{\quad\quad}.$

解： $\begin{aligned} \text{原式} &=\lim_{n \to \infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\\ &=\int_{0}^{1}x\ln(1+x),\mathrm{d}x\\ &=\frac12\int_{0}^{1}\ln(1+x),\mathrm{d}x^2\\ &=\frac12x^2\ln(1+x)\bigg|{0}^{1}-\frac12\int{0}^{1}\frac{x^2}{1+x}\mathrm{d}x\\ &=\boldsymbol{\frac14}. \end{aligned}$

说明：“提可爱因子”是笔记戏称，实际就是提取$\boldsymbol{\dfrac1n}$，凑定积分定义： $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$

心得笔记

关于定积分的条件，要有定义且有界，像是 1/x 在0到1上就不可做定积分。

关于定积分的定义结合极限求解的题目，要把握 n分之一实际上是 delta x ，从1到n会变的项是fx i，一般都是[0,1]区间的积分，因为n分之1等于0，n分之n等于1，实际上都是在对 [0,1] 的区间做 n 等分。

做关于定积分的概念的 2017 年真题，化简后遇到一个不定积分不会求，是一个很简单的假分式 x方除以 1+x 却令我束手无策，我连假分式化真分式都不会，原来是要配凑。最后1/2减1/4也出错。

tikz 素材

\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
% 坐标轴
\draw[->, thick] (-3.4,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-1.3) -- (0,1.3) node[above] {$y$};
% x轴刻度
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3}{
    \draw[thick] (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below] {$\x$};
}
\node[below right] at (0,0) {$O$};
% [-3,-2] 上半圆弧，直径1，圆心(-2.5,0)，r=0.5
\draw[thick] (-3,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.5];
% [-2, 0] 下半圆弧，直径2，圆心(-1,0), r=1
% 起点(-2,0)，向下画半圆到(0,0)：180°→360°
\draw[thick] (-2,0) arc[start angle=180, end angle=360, radius=1];
% [0, 2] 上半圆弧，直径2，圆心(1,0), r=1
% 起点(0,0)，向上画半圆到(2,0): 180°→0°
\draw[thick] (0,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=1];
% [2, 3] 下半圆弧，直径1，圆心(2.5,0), r=0.5
\draw[thick] (2,0) arc[start angle=180, end angle=360, radius=0.5];
% 函数标签
\node[above] at (1.2,1.1) {$y=f(x)$};
% 图题
\node[below] at (0,-1.6) {图 2};
\end{tikzpicture}

\documentclass[tikz,border=5pt]{standalone}
\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
% 定义函数曲线路径
\def\curve{
  (-3.2, 1.2)
  .. controls (-2.8, 1.25) and (-2.4, 1.1) .. (-2.0, 0.6)
  .. controls (-1.7, 0.1) and (-1.5, -0.3) .. (-1.3, -0.5)
  .. controls (-1.0, -0.7) and (-0.7, -0.6) .. (-0.4, -0.3)
  .. controls (-0.1, 0.0) and (0.0, 0.2) .. (0.2, 0.5)
  .. controls (0.5, 0.8) and (0.9, 0.9) .. (1.3, 0.85)
  .. controls (1.7, 0.8) and (2.0, 0.9) .. (2.4, 1.0)
  .. controls (2.7, 1.1) and (3.0, 1.15) .. (3.2, 1.2)
}
% 阴影区域（曲线与x轴之间）
% 左侧正区域
\fill[pattern=dots, pattern color=gray!60]
  (-3.2, 0) -- (-3.2, 1.2)
  .. controls (-2.8, 1.25) and (-2.4, 1.1) .. (-2.0, 0.6)
  .. controls (-1.7, 0.1) and (-1.55, 0) .. (-1.5, 0)
  -- cycle;
% 中间负区域
\fill[pattern=dots, pattern color=gray!60]
  (-1.5, 0)
  .. controls (-1.55, 0) and (-1.7, 0.1) .. (-2.0, 0.6)
  .. controls (-1.7, 0.1) and (-1.5, -0.3) .. (-1.3, -0.5)
  .. controls (-1.0, -0.7) and (-0.7, -0.6) .. (-0.4, -0.3)
  .. controls (-0.1, 0.0) and (-0.05, 0) .. (0, 0)
  -- cycle;
% 右侧正区域
\fill[pattern=dots, pattern color=gray!60]
  (0, 0)
  .. controls (-0.1, 0.0) and (0.0, 0.2) .. (0.2, 0.5)
  .. controls (0.5, 0.8) and (0.9, 0.9) .. (1.3, 0.85)
  .. controls (1.7, 0.8) and (2.0, 0.9) .. (2.4, 1.0)
  .. controls (2.7, 1.1) and (3.0, 1.15) .. (3.2, 1.2)
  -- (3.2, 0) -- cycle;
% 坐标轴
\draw[->, >=stealth, thick] (-4, 0) -- (4.2, 0) node[below right] {$x$};
\draw[->, >=stealth, thick] (0, -1.2) -- (0, 2.2) node[above left] {$y$};
% 函数曲线
\draw[thick] \curve;
% 左右边界竖线
\draw[thick] (-3.2, 0) -- (-3.2, 1.2);
\draw[thick] (3.2, 0) -- (3.2, 1.2);
% 标签
\node[below] at (-3.2, 0) {$a$};
\node[below] at (3.2, 0) {$b$};
\node[below left] at (0, 0) {$O$};
\node[above right] at (0.5, 1.3) {$y=f(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}