5.1 定积分的定义

1. 定积分的定义

定义 设函数 $f(x)$ 在区间 $([a,b])$ 上有定义且有界。

(1) 分割. 在 $([a,b])$ 中任意插入 $n-1$ 个分点 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n = b,$ 将区间 $([a,b])$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i],\ i=1,2,\dots,n$，记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 表示第 $i$ 个小区间的长度。

(2) 求和. 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i,$ 记 $\lambda = \max{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n}$。

(3) 取极限. 若极限 $\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$ 存在，且此极限值既不依赖于区间 $([a,b])$ 的分法，也不依赖于点 $\xi_i$ 的取法，则称 $f(x)$ 在区间 $([a,b])$ 上可积，并称此极限为 $f(x)$ 在区间 $([a,b])$ 上的定积分，记为 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$，即

$\int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i.$

【注】 (1) 定积分表示一个数值，仅与积分区间 $([a,b])$ 和被积函数 $f(x)$ 有关，与积分变量 $x$ 无关，因此有 $\int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(t)\mathrm{d}t.$

(2) 若积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$，且极限 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$ 与 $\xi_i$ 的取法和区间 $([a,b])$ 的分法无关。

因此，如果积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x))\mathrm{d}x$ 存在，就可将 $([0,1])$ 区间 $n$ 等分，此时 $\Delta x_i=\dfrac{1}{n}$，取 $\xi_i=\dfrac{i}{n}$，由定积分的定义得 $\int_{0}^{1} (f(x))\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right).$ 上式在用定积分定义求极限时是一种常见形式。

2. 定积分存在的充分条件

• 定理 若 $f(x)$ 在 $([a,b])$ 上连续，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 必定存在。
• 定理 若 $f(x)$ 在 $([a,b])$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 必定存在。
• 定理 若 $f(x)$ 在 $([a,b])$ 上只有有限个第一类间断点，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 必定存在。

3. 定积分的几何意义

(1) 设 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 存在，若在 $([a,b])$ 上 $(f(x))\ge 0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 的值等于以曲线 $y=(f(x))$，$(x=a)$，$(x=b)$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

(2) 若在 $([a,b])$ 上 $(f(x))\le 0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 的值等于以曲线 $y=(f(x))$，$(x=a)$，$(x=b)$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积的负值。

(3) 若在 $([a,b])$ 上 $f(x)$ 的值有正也有负，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))\mathrm{d}x$ 的值等于 $x$ 轴上方的面积减去 $x$ 轴下方的面积所得之差。