5.3 积分上限函数 | 花野猫的数字花园变上限的积分 ∫axf(t)dt 是其上限 x 的函数，常称之为积分上限函数。
定理
如果 f(x) 在区间 上连续，则
[a,b]
Φ(x)=∫axf(t)dt dxdΦ(x)=f(x) 由原函数的概念可知，如果 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 Φ(x)=∫a 为 在区间 上的一个原函数。由此可知，。
【注】
如果 f(x) 为 [a,b] 上的连续函数，φ1(x),φ2 为可导函数，则
变上限积分 ∫axf(t)dt 表示一个函数，因此，我们经常会遇到与函数相关的问题：求极限，判定连续性，求导数，求微分，判定单调性，判定曲线的凹凸性等。
定理 设函数 f(x) 在 [−l,l] 上连续，则
- 如果 f(x) 为奇函数，那么 ∫0xf(t)dt 必为偶函数。
- 如果 f(x) 为偶函数，那么 必为奇函数。
【例】（2024，数一） 已知函数 f(x)=∫0xecos，则
(A) f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数。
(B) f(x) 是偶函数，g(x) 是奇函数。
(C) f(x) 与 均为奇函数。
(D) 与 均为偶函数。
由于 ecost 是偶函数，则 f(x)=∫0x 是奇函数；
由于 是偶函数，则 是奇函数，，则 是奇函数，故选 。
补充小知识点
- ∫0x：偶被积函数 ⇒ 积分结果奇函数；奇被积函数 ⇒ 积分结果偶函数
- 复合奇偶：奇(奇)=奇，奇(偶)=偶。
h(⋅) 是奇函数，sin 是奇函数，所以 为奇函数。
变上限积分例题
【例18】设 f(x) 连续，试求下列函数的导数。
(1) ∫exx2f。 (2) 。
(3) 。 (4) 。
[∫exx2 ∫0x(x−t)f(t)dt=x∫ [∫0 ∫0xcos(x−t)2dt=∫ [∫0xcos(x−t)2dt] ∫12f(x+t)dt=∫ [∫12f(x+t)dt]′=
【例19】(2015，数二、三) 设函数 f(x) 连续，φ(x)=∫0x2x。若 ，则 。
φ(1)=∫01f(t)dt=1. φ(x)=x∫0x2f(t)dt. φ′(x)=∫0x2 φ′(1)=∫01f(t)dt+2 故：1+2f(1)=5⇒f(1)=2。
【例20】(1998，数一) 设 f(x) 连续，则 dxd∫0x（）
。 (B) 。 。 。
解【方法1】直接法
令 x2−t2=u, −2tdt=du，
∫0xtf(x2−t dxd∫0 故应选 (A)。
【方法2】排除法
令 f(x)≡1，满足题设条件，此时
dxd(∫0x 将 f(x)≡1 代入四个选项，排除 (B)、(C)、(D)。故选 (A)。
f(x)={x2,1, 设 F(x)=∫1xf(t)dt (0⩽x⩽2)，则 为（）
(A) ⎩⎨
(B)
F(x)= 故选 (D)。
【方法2】 F′(x)=f(x)，又 f(x) 在 x=1 处连续，故 在 可导，则 在 一定连续。故选 。
【例22】(1988，数二) 设 x⩾−1，求 ∫−1x(1−∣t∣)dt。
f(x)={sinx,2, 则
(A) x=π 是函数 F(x) 的跳跃间断点。
(B) x=π 是函数 F 的可去间断点。
在 处连续但不可导。
在 处可导。
显然，F(x) 在 x=π 处连续。又
F−′(π)=(1−cosx) F+′(π)=[2+2(x−π)] 左右导数不相等，则 F(x) 在 x=π 处不可导，故选 (C)。
【例24】(1998，数二)确定常数 a,b,c 的值，使
x→0lim∫bx 解
由题设知分母极限为 0：∫b0tln(1+t。
原式 极限存在分母趋于 0，故分子必须趋于 0：a−cos0=0⇒a=1。
原式=x→0limx21−cosx 得：a=1, b=0, c=21。
x→0+limx 解【方法1】
令 x−t=u，
∫0xx−t
【例26】(2020，数一，数二)当 x→0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是
(A) ∫0。
(B) 。
。
。
x→0+limx 则 ∫0x(et2−1)dt 是 的。
x→0+lim 则 ∫0xln(1+t3 是 的 阶无穷小。
x→0+lim 则 ∫0sinxsint2dt 是 x 的三阶无穷小。
则 ∫01−cosxsin3t 是 的。
综上，正确选项为 (D)。
【例27】(2010，数三)设可导函数 y=y(x) 由方程
∫0x+ye−t2dt= 确定，则 dxdyx=0。
解
令 x=0，∫0ye−t，即 时，。
e−(x+y)2⋅(1+y 代入 x=0,y=0：
1⋅(1+y′(0))=0⇒y x
f
(
t
)
d
t
连续函数必有原函数
(
x
)
(∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt)′=f[φ2(x)]⋅φ2′(x)−f[φ1(x)]⋅φ1′(x) ∫0xf(t)dt
t
d
t
,
g
(
x
)
=
∫0sinxet2dt
g(x)
ecost
d
t
h(x)=∫0xet2dt g(x)=h(sinx) (C)
x
(
t
)
d
t
∫0x(x−t)f(t)dt ∫0xcos(x−t)2dt ∫12f(x+t)dt f
(
t
)
d
t
]
′
=
f(x2)⋅
2x−
f(ex)ex.
0x
f
(
t
)
d
t
−
∫0xtf(t)dt,
x
(
x
−
t
)
f
(
t
)
d
t
]
′
=∫0xf(t)dt+xf(x)−xf(x)=∫0xf(t)dt.
0x
cos
u2
d
u
,
′
=
cosx2.
x
+
1
x+2
f
(
u
)
d
u
,
f(x+
2)−
f(x+
1).
f
(
t
)
d
t
φ(1)=1,φ′(1)=5 f(1)= f
(
t
)
d
t
+
xf(x2)⋅
2x.
f
(
1
)
=
5,
t
f
(
x2
−
t2)dt=
−2xf(x2) 2
)
d
t
=
21∫0x2f(u)du,
x
t
f
(
x2
−
t2)dt=
21dxd(∫0x2f(u)du)=
xf(x2),
t
f
(
x2
−
t2
)
d
t
)
=
dxd(∫0xtdt)=
x.
0⩽x<1,
1⩽x⩽2,
⎧
31x3,x,0⩽x<1,1⩽x⩽2.
⎩⎨⎧31x3−31,x,0⩽x<1,1⩽x⩽2. ⎩⎨⎧31x3,x−1,0⩽x<1,1⩽x⩽2. ⎩⎨⎧31x3−31,x−1,0⩽x<1,1⩽x⩽2. ⎩⎨⎧∫1xt2dt,∫1x1dt,0⩽x<1,1⩽x⩽2
=
⎩⎨⎧31x3−31,x−1,0⩽x<1,1⩽x⩽2. F(x)
∫−1x(1−∣t∣)dt=⎩⎨⎧∫−1x(1+t)dt,∫−10(1+t)dt+∫=⎩⎨⎧21(1+x) 0⩽x<π,π⩽x⩽2π,
F
(
x
)
=
∫0xf(t)dt,
(
x
)
F(x)=∫0xf(t)dt=⎩⎨⎧∫0xsintdt,∫0πsintdt+∫={1−cosx,2+2(x−π),0⩽x<π,π⩽x⩽2π. ′
∣
x=π
=
sinx∣x=π=
0,
′
x=π
=
2,
tln(1+t3)
d
t
ax−sinx
=
c(c=
0).
3
)
d
t
=
0⇒
b=0
=x→0lim∫0xtln(1+t3)dtax−sinx=x→0limxln(1+x3)a−cosx=x→0limx2a−cosx.
=
21=
c.
3
.
t
et
d
t
=
u)ex−udu.
原式=x→0+limx3∫0xu(x−u)ex−udu=x→0+limx3ex∫0=x→0+limx3 原式=x→0+limx3eξ∫0xx−tdt=x→0+limx3∫0x=x→0+limx3 x
(
et2
−
1)dt
∫0xln(1+t3)dt ∫0sinxsint2dt ∫01−cosxsin3tdt 3
∫0x(et2−1)dt
=
x→0+lim3x2ex2−1=
31,
x
三阶无穷小
x25
=
x→0+lim25x3ln(1+x3)= 52,
)
d
t
25 x3
∫0sinxsint2dt
=
x→0+lim3x2sin(sin2x)cosx=
31,
x→0+limx5∫01−cosxsin3tdt
=x→0+lim5x4sin3(1−cosx)⋅sinx=x→0+lim5x4(1−cosx)
d
t
五阶无穷小
∫0x
x
sin
t2
d
t
=
2
d
t
=
0⇒
y=
0
′
)
=
∫0xsint2dt+
xsinx2.
′
(
0
)
=
−
1
.
9.1 二重积分的概念和性质
更新于2026-10-16
0x
(
1
−
t
)
d
t
,
−1⩽x<0x⩾0
2
,
1−21(1−x)2,
−1⩽x⩽0,x>0.
π
x
2
d
t
,
0⩽x<π,π⩽x⩽2π
x
(
x
−
u
)
e−u
d
u
=
x→0+lim
=
32
.
d
t
=
x→0+lim
=
32
.
23
⋅
x
=
,
