![定积分的几何意义](/api/files/0e3cbf210680bdde.svg) (1) 设 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 存在，若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于以曲线 $y=f(x)$，$x=a$，$x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。 (2) 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le 0$，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于以曲线 $y=f(x)$，$x=a$，$x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形面积的负值。 (3) 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的值有正也有负，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于 $x$ 轴上方的面积减去 $x$ 轴下方的面积所得之差。 ## 定积分的几何意义相关例题【例5】（2007，数一、二、三）如图2，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设 $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$，则下列结论正确的是 ![图2：坐标系，$y=f(x)$，$[-3,-2]$上半圆弧；$[-2,0]$下半圆弧；$[0,2]$上半圆弧；$[2,3]$下半圆弧。](/api/files/af8ef76a3bdb26a2.svg) (A)$F(3)=-\dfrac{3}{4}F(-2)$ (B)$F(3)=\dfrac{5}{4}F(2)$ (C)$F(-3)=\dfrac{3}{4}F(2)$ (D)$F(-3)=-\dfrac{5}{4}F(-2)$ **解** 【方法1】 $$ F(2)=\int_{0}^{2}f(t)dt=\frac{\pi}{2}, $$ $$ F(3)=\int_{0}^{3}f(t)dt=\int_{0}^{2}f(t)dt+\int_{2}^{3}f(t)dt=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}=\frac{3}{8}\pi, $$ $$ F(-2)=\int_{0}^{-2}f(t)dt=-\int_{-2}^{0}f(t)dt=-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}, $$ $$ F(-3)=\int_{0}^{-3}f(t)dt=-\int_{-3}^{0}f(t)dt=-\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{8}\pi, $$ 则 $\boldsymbol{F(-3)=\dfrac{3}{4}F(2)}$。故选(C)。【方法2】由定积分的几何意义知 $(F(2)>F(3)>0)$。又由 $f(x)$ 的图形可知，$f(x)$ 为奇函数，则 $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ 为偶函数，故 $$ F(-3)=F(3)>0,\ F(-2)=F(2)>0, $$ 故选(C)。 --- 例6（1997，数一、二）设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)>0,,f'(x)<0,,f''(x)>0$。令 $S_1=\int_{a}^{b}f(x)dx,\ S_2=f(b)(b-a),\ S_3=\dfrac12\big[f(a)+f(b)\big](b-a)$，则 (A)$S_10,,f'(x)<0,,f''(x)>0$ 可画出 $f(x)$ 图形。由函数的几何意义可知： $S_1$ 为曲边梯形 $(\overline{AB})CD$ 的面积。 $S_2$ 为矩形 $E(\overline{BC})D$ 的面积。 $S_3$ 为梯形 $(\overline{AB})CD$ 的面积。故 $\boldsymbol{S_20$，则 (A)$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx>0$ (B)$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx<0$ (C)$\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx>\int_{0}^{1}f(x)dx$ (D)$\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx<\int_{0}^{1}f(x)dx$ ![例8图解凹曲线过 $(-1,1),(0,-1),(1,1)](/api/files/82598c456ed64559.svg) **解** 【方法1】几何法由题设知曲线 $y=f(x)$ 过点 $A(-1,1),B(0,-1)$ 和 $(C(1,1))$，且是凹的。连接 $(\overline{AB})$ 和 $(\overline{BC})$，得两条线段 $\overline{(\overline{AB})}$ 和 $\overline{(\overline{BC})}$，设这两条线段对应的函数为 $(y=(g(x)))$，由于 $y=f(x)$ 在 $[-1,1]$ 是凹的，则 $$ f(x)\leqslant (g(x)),\ x\in[-1,1], $$ 则 $$ \int_{-1}^{1}f(x)dx<\int_{-1}^{1}(g(x))dx. $$ ($f(x)$ 与 $(g(x))$ 只在三点的函数值相等) 由定积分几何意义知 $\displaystyle\int_{-1}^{0}(g(x))dx=0,\ \int_{0}^{1}(g(x))dx=0$，则 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(g(x))dx=0$，故应选(B)。【方法2】具体函数排除法若取 $f(x)=2x^2-1$，显然符合题设条件，由于 $f(x)$ 是偶函数，则 $\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx$，则(C)(D)都不正确。又 $$ \int_{-1}^{1}(2x^2-1)dx=2\int_{0}^{1}(2x^2-1)dx=2\left(\frac{2}{3}x^3\bigg|_{0}^{1}-1\right)=-\frac{2}{3}<0, $$ 则(A)不正确，故应选(B)。 --- 例9（1991，数一、二）设函数 $f(x)$ 在 $([0,1])$ 上连续，$((0,1))$ 内可导，且 $\displaystyle 3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(0)$，证明在 $((0,1))$ 内存在一点 $c$，使 $f'(c)=0$。 **证** 由积分中值定理知，存在 $\xi\in\left(\dfrac{2}{3},1\right)$，使得 $$ \int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(\xi)\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac13 f(\xi), $$ $$ 3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx=f(\xi)=f(0). $$ 由罗尔定理知，存在 $c\in(0,\xi)$，使 $f'(c)=0$。 ## 心得笔记求解2007年真题时，我犯的错误是：题F(-2)是在 [0,-2]上的积分，即使图形在x轴上方，要知道 [-2,0] 上的积分因为上下限对调了，要取相反数，就变成负了。还考虑F(x) 是原函数，是个偶函数，这样去确定某个点原函数值的正负会更直观。例六算术平均值要知道两点之间我做直线线，然后他们的中点的高度其实就代表着这个上述平均值的高度了。那其实还可以结合凹函数的定义来看的例七要知道，在0~2分之派的时候，这个sine x是小于cos x的，并且呢cot是cos/sin，sin四分之派等于二分之根2＜1，当cos x÷一个小于1的数，它就比cos x要大，另外就是cot x的图像不熟悉，如果熟悉的话一画图就能看出来了，cotx是远远要大于cosx的。例八的话，对于一些这个定积分比较的问题，给的启示就是首先要想到做直线，把凹函数的曲线跟直线来比较，而直线的一画出来这个面积就很直观。 ## tikz 源码 ``` \documentclass[tikz,border=5pt]{standalone} \usepackage{amsmath} \begin{document} \begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=1.2] % 坐标轴 \draw[->] (-0.5,0) -- (6,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-0.5) -- (0,4) node[above] {$y$}; \node[below left] at (0,0) {$O$}; % 关键点坐标 (基于 f(x)=3/x, x从1到5) \coordinate (D) at (1,0); \coordinate (C) at (5,0); \coordinate (A) at (1,3); \coordinate (B) at (5,0.6); \coordinate (E) at (1,0.6); % 边框与辅助线 \draw (D) -- (C); % x轴上的底边 \draw (C) -- (B); % 右侧竖线 BC \draw (D) -- (A); % 左侧竖线 DA \draw (E) -- (B); % 中间水平线 EB % 直线 AB (弦) \draw (A) -- (B); % 曲线 f(x) = 3/x (使用 plot 绘制标准反比例函数) \draw[thick, domain=1:5, smooth, variable=\x] plot ({\x}, {3/\x}); % f(x) 标签位置 (放在曲线和弦之间) \node at (2.2, 1.6) {$f(x)$}; % x轴下方的标签 (还原原图 D, a 和 b, C 的相对位置) \node[below left] at (D) {$D$}; \node[below right] at (D) {$a$}; \node[below left] at (C) {$b$}; \node[below right] at (C) {$C$}; % 点标签 \node[above right] at (A) {$A$}; \node[above right] at (B) {$B$}; \node[left] at (E) {$E$}; % 图编号 \node[below] at (3, -0.8) {\textbf{图 3}}; \end{tikzpicture} \end{document} ```

5.3 积分上限函数

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