5.1.4 定积分的性质

(2) 若 $M$ 及 $m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则

(3)

2. 中值定理

(1) 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

常称 $\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 为函数 $y=f($ 在区间 上的平均值。

(2) 广义积分中值定理

若 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 不变号，则

定积分的性质相关例题

例9（1991，数一、二）

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$(0,1)$ 内可导，且

证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $c$，使 $f'(c)=0$。

证

由积分中值定理知，存在 $\xi\in\left(\dfrac{2}{3},1\right)$，使得

由罗尔定理知，存在 $c\in(0,\xi)$，使 $f'(c)=0$。

思路梳理

1. 条件给积分等式，先用积分中值定理把定积分转化为某点函数值，得到：$f(\xi)=f(0)$；
2. $f(x)$ 在闭区间 $[0,\xi]$ 连续，开区间 $(0,\xi)$ 可导，两端点函数值相等，满足条件；

心得笔记

#定积分 #积分中值定理 #微分中值定理 #不等式 #静力矩 #质心 #线密度 #定积分的性质 #ξ

例9 利用积分中值定理，可以把积分去掉。证明题跟微分中值定理有点像了。

对广义积分中值定理的理解，可以用非均匀细棒找质心来直观对应：在公式中，连续变化的位置坐标 x 充当了被测函数 f(x)，而各处的线密度 ρ(x) 作为永远大于零的质量权重，正好对应了不变号的权函数 g(x)；把每个微小位置的坐标 f(x) 乘以质量权重 g(x) 沿着整根棒累加，算出的就是总静力矩；而广义积分中值定理的核心作用，就是保证了这个总静力矩，在力学效果上必定能严格等效为把整根棒的总质量 M（即对权重 g(x) 累加的总和）全部打包集中在棒上某一个确定的平衡点 ξ 处所产生的效果，也就是 M 乘以 f(ξ)；因此，当我们用总静力矩除以总质量 M 时，质量直接被约掉，只剩下 f(ξ) 即位置坐标 ξ 本身——定理保证了这个集中点 ξ 必然真实存在且一定落在棒体内部，而在物理上，这个 f(ξ) 对应的位置 ξ 就被定义为质心。