5.1.4 定积分的性质

(2) 若 $M$ 及 $m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则

(3)

2. 中值定理

(1) 积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

常称 $\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 为函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值。

(2) 广义积分中值定理

若 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 不变号，则

定积分的性质相关例题

例9（1991，数一、二）

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$(0,1)$ 内可导，且

证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $c$，使 $f'(c)=0$。

证

由积分中值定理知，存在 $\xi\in\left(\dfrac{2}{3},1\right)$，使得

由罗尔定理知，存在 $c\in(0,\xi)$，使 $f'(c)=0$。

思路梳理

1. 条件给积分等式，先用积分中值定理把定积分转化为某点函数值，得到：$f(\xi)=f(0)$；
2. $f(x)$ 在闭区间 $[0,\xi]$ 连续，开区间 $(0,\xi)$ 可导，两端点函数值相等，满足罗尔定理条件；
3. 推出 $\exists\,c\in(0,\xi)\subset (0,1)$，$f'(c)=0$。