应用台导航页
  • 主页
  • 博客
  • 知识库
  • 工作台
  • 集萃
  • 友链
  • 关于
4.2 不定积分基本公式

4.2 不定积分基本公式

应试
更新于 2026-09-01
— 1829 字
返回
本文收录于以下知识库
  • 《武忠祥高等数学基础篇》
    《武忠祥高等数学基础篇》
    • (1)∫0dx=C.(2)∫xαdx=1α+1xα+1+C(α≠−1).(3)∫1xdx=ln⁡∣x∣+C.(4)∫axdx=axln⁡a+C(a>0,a≠1).(5)∫exdx=ex+C.(6)∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C.(7)∫cos⁡xdx=sin⁡x+C.(8)∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C.(9)∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C.(10)∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C.(11)∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C.(12)∫11−x2dx=arcsin⁡x+C.(13)∫11+x2dx=arctan⁡x+C.(14)∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C.(15)∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C.(16)∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C.(17)∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C.(18)∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C.(19)∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C.(20)∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C.\begin{align*} &(1)\int 0\mathrm{d}x = C. \\ &(2)\int x^\alpha \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \quad (\alpha\neq-1). \\ &(3)\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x = \ln|x|+C. \\ &(4)\int a^x\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a}+C \quad (a>0,a\neq 1). \\ &(5)\int \mathrm{e}^x\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x+C. \\ &(6)\int \sin x\mathrm{d}x = -\cos x+C. \\ &(7)\int \cos x\mathrm{d}x = \sin x+C. \\ &(8)\int \sec^2 x\mathrm{d}x = \tan x+C. \\ &(9)\int \csc^2 x\mathrm{d}x = -\cot x+C. \\ &(10)\int \sec x\tan x\mathrm{d}x = \sec x+C. \\ &(11)\int \csc x\cot x\mathrm{d}x = -\csc x+C. \\ &(12)\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x = \arcsin x+C. \\ &(13)\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x = \arctan x+C. \\ &(14)\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C. \\ &(15)\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2} = \frac1a\arctan\frac{x}{a}+C. \\ &(16)\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C. \\ &(17)\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C. \\ &(18)\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C. \\ &(19)\int \sec x\mathrm{d}x = \ln|\sec x+\tan x|+C. \\ &(20)\int \csc x\mathrm{d}x = -\ln|\csc x+\cot x|+C. \end{align*}​(1)∫0dx=C.(2)∫xαdx=α+11​xα+1+C(α=−1).(3)∫x1​dx=ln∣x∣+C.(4)∫axdx=lnaax​+C(a>0,a=1).(5)∫exdx=ex+C.(6)∫sinxdx=−cosx+C.(7)∫cosxdx=sinx+C.(8)∫sec2xdx=tanx+C.(9)∫csc2xdx=−cotx+C.(10)∫secxtanxdx=secx+C.(11)∫cscxcotxdx=−cscx+C.(12)∫1−x2​1​dx=arcsinx+C.(13)∫1+x21​dx=arctanx+C.(14)∫a2−x2​dx​=arcsinax​+C.(15)∫a2+x2dx​=a1​arctanax​+C.(16)∫x2−a2dx​=2a1​ln​x+ax−a​​+C.(17)∫x2+a2​dx​=ln(x+x2+a2​)+C.(18)∫x2−a2​dx​=ln​x+x2−a2​​+C.(19)∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C.(20)∫cscxdx=−ln∣cscx+cotx∣+C.​

    【例2】 求下列不定积分

    (1)∫(x+1)3x2dx.(2)∫x4−x21+x2dx.(3)∫1−sin⁡x1+sin⁡xdx.(1)\int \frac{(x+1)^3}{x^2}\mathrm{d}x. \quad (2)\int \frac{x^4-x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x. \quad (3)\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x.(1)∫x2(x+1)3​dx.(2)∫1+x2x4−x2​dx.(3)∫1+sinx1−sinx​dx.

    解

    (1)∫(x+1)3x2dx=∫x3+3x2+3x+1x2dx=∫(x+3+3x+1x2)dx=12x2+3x+3ln⁡∣x∣−1x+C.(2)∫x4−x21+x2dx=∫(x4−1)−(1+x2)+21+x2dx=∫(x2−1−1+21+x2)dx=13x3−2x+2arctan⁡x+C.(3)∫1−sin⁡x1+sin⁡xdx=∫(1−sin⁡x)2cos⁡2xdx=∫(sec⁡2x−2sec⁡x⋅tan⁡x+tan⁡2x)dx=tan⁡x−2sec⁡x+tan⁡x−x+C=2tan⁡x−2sec⁡x−x+C.\begin{align*} (1)\int \frac{(x+1)^3}{x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^2}\mathrm{d}x =\int\left(x+3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x \\ &=\frac12x^2+3x+3\ln|x|-\frac1x+C. \\[4pt] (2)\int \frac{x^4-x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{(x^4-1)-(1+x^2)+2}{1+x^2}\mathrm{d}x =\int\left(x^2-1-1+\frac{2}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x \\ &=\frac13x^3-2x+2\arctan x+C. \\[4pt] (3)\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x &=\int \frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2x}\mathrm{d}x =\int\left(\sec^2x-2\sec x\cdot\tan x+\tan^2x\right)\mathrm{d}x \\ &=\tan x-2\sec x+\tan x-x+C \\ &=2\tan x-2\sec x-x+C. \end{align*}(1)∫x2(x+1)3​dx(2)∫1+x2x4−x2​dx(3)∫1+sinx1−sinx​dx​=∫x2x3+3x2+3x+1​dx=∫(x+3+x3​+x21​)dx=21​x2+3x+3ln∣x∣−x1​+C.=∫1+x2(x4−1)−(1+x2)+2​dx=∫(x2−1−1+1+x22​)dx=31​x3−2x+2arctanx+C.=∫cos2x(1−sinx)2​dx=∫(sec2x−2secx⋅tanx+tan2x)dx=tanx−2secx+tanx−x+C=2tanx−2secx−x+C.​

    相关内容

    • 《武忠祥高等数学基础篇》第二章——导数与微分

      《武忠祥高等数学基础篇》第二章——导数与微分

      更新于2026-09-01

    • 4.4 三类常见可积函数积分

      4.4 三类常见可积函数积分

      更新于2026-09-01

    • 三角函数恒等式不熟，不定积分寸步难行

      三角函数恒等式不熟，不定积分寸步难行

      更新于2026-08-30

    • 三角函数常用公式

      三角函数常用公式

      更新于2026-08-28

    • 微分中值定理与导数的应用

      微分中值定理与导数的应用

      更新于2026-08-26

    选项
    文章 ID: 583

    相关内容

    • 《武忠祥高等数学基础篇》第二章——导数与微分

      《武忠祥高等数学基础篇》第二章——导数与微分

      更新于2026-09-01

    • 4.4 三类常见可积函数积分

      4.4 三类常见可积函数积分

      更新于2026-09-01

    • 三角函数恒等式不熟，不定积分寸步难行

      三角函数恒等式不熟，不定积分寸步难行

      更新于2026-08-30

    • 三角函数常用公式

      三角函数常用公式

      更新于2026-08-28

    • 微分中值定理与导数的应用

      微分中值定理与导数的应用

      更新于2026-08-26

    dors logoDors

    Dors 是花野猫开发为知识工作者打造的数字花园应用，包含的博客、个人记事本、及其他实用功能。

    花园

    • 花坛——博客
    • 果园——知识库

    工坊——作者开发的实用工具

    • 小记
    • 秒切——一键按秒分割视频
    • 中国重点高校地理位置可视化网站
    • 中国行政区划数据查询平台
    • excel 重命名工具

    misc

    • 生活章程
    • 画廊
    • just have fun!

    © 2022 - present. All Rights Reserved.滇ICP备2025063395号-1

    花野猫打造