《武忠祥高等数学基础篇》第二章——导数与微分

二、导数公式及求导法则

1. 基本初等函数的导数公式

2. 求导法则

(1) 有理运算法则

设 \(u=u(x),v=v(x)\) 在 $x$ 处可导，则

(2) 复合函数求导法

设 $u=\varphi(x)$ 在 $x$ 处可导，\(y=f(u)\) 在对应点处可导，则复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 在 $x$ 处可导，且

【例7】（1995，数二）设 $y=\cos(x^2)\sin^2\dfrac1x$，则 $y'=\underline{\quad\quad}$

解

用到三角恒等式：$\boldsymbol{\sin\dfrac2x=2\sin\dfrac1x\cos\dfrac1x}$ 化简。

【例8】设函数 \(f(x)\) 可导，试证：

1. 若 \(f(x)\) 是奇函数，则 $f'(x)$ 是偶函数。
2. 若 \(f(x)\) 是偶函数，则 $f'(x)$ 是奇函数。
3. 若 \(f(x)\) 是周期函数，则 $f'(x)$ 也是周期函数。

证 (1) \(f(x)\) 为奇函数： f(-x)=-\(f(x)\) 两边对 $x$ 求导：

即 $\boldsymbol{f'(-x)=f'(x)}$，故 $f'(x)$ 为偶函数。

同理可证(2)(3)。

注：本题结论做题可直接使用。

【例9】（2022，数三）已知函数 \(f(x)\)=\mathrm{e}^{\sin x}+\mathrm{e}^{-\sin x}，则 $f'''(2\pi)=\underline{\quad\quad}$

解 直接求三阶导数计算量大，利用奇偶性、周期性：

\(f(x)\) 是偶函数，因此：

• $f'(x)$ 奇函数
• $f''(x)$ 偶函数
• $f'''(x)$ 奇函数

\(f(x)\) 以 $2\pi$ 为周期，故 $f'(x),f''(x),f'''(x)$ 均以 $2\pi$ 为周期。

奇函数满足 $f'''(0)=0$，

(3) 隐函数求导法

设 \(y=y(x)\) 由方程 \(F(x,y)=0\) 确定的可导函数，求 $y'$： 方程两边对 $x$ 求导，得到含 $y'$ 的方程，解出 $y'$。

注：也可用多元隐函数公式

【例10】（1993，数三）函数 \(y=y(x)\) 由方程 $\sin(x^2+y^2)+\mathrm{e}^x-xy^2=0$ 确定，则

解 方程两边对 $x$ 求导：

整理解得：

(4) 反函数的导数

若 y=\(f(x)\) 在区间内单调可导，且 $f'(x)\neq 0$，则反函数 $x=\varphi(y)$ 在对应区间可导：