7.3 可降阶的高阶微分方程

只需令 $y' = p, y'' = p'$，可将原方程化为一阶微分方程。

3. $y'' = f(y, y')$ 型的方程

只需令 $y' = p, y'' = p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，可将原方程化为一阶微分方程。

相关例题

【例 4】（2000, 数一）微分方程 $xy'' + 3y' = 0$ 的通解为 $\underline{\qquad\qquad}$。

解 令 $y' = p, y'' = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$， 故 ，其中 为任意常数。

【例 5】（2002, 数一、二）微分方程 $yy'' + y'^2 = 0$ 满足初始条件 $y\bigg|_{x=0} = 1, y'\bigg|_{x=0} = \frac{1}{2}$ 的特解是 。

解 令 $y' = p$，则 $y'' = p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，代入原方程得 由 知，，则 由 知，，则 由 知，。

心得笔记

1. 看是缺 x 型还是缺 y 型