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5.3 实对称矩阵

5.3 实对称矩阵

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更新于 2026-10-31
— 2213 字
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定理 5.5 实对称矩阵必可相似对角化。

定理 5.6 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交。

定理 5.7 设 A\boldsymbol{A}A 为 nnn 阶实对称矩阵，则必存在正交阵 Q\boldsymbol{Q}Q，使得

Q−1AQ=QTAQ=Λ.\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{AQ} = \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{AQ} = \boldsymbol{\Lambda}.Q−

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1
AQ
=
QTAQ=
Λ.

“实对称矩阵用正交矩阵相似对角化”的解题步骤： (1) 求出矩阵 A\boldsymbol{A}A（设为三阶）的特征值 λ1,λ2,λ3\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3λ1​,λ2​,λ3​。 (2) 求出相应的特征向量 α。 (3) 改造特征向量。  ① 如果特征值不同，特征向量已正交，只需单位化，记为 。  ② 如果特征值有重根，要先判断特征向量是否已正交。  若已正交则只需单位化；若不正交则要正交化处理并单位化，记为 。 (4) 用上述特征向量 构成正交矩阵 。  即有 。

【注】 A\boldsymbol{A}A 是实对称矩阵，Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,λ1≠λ2\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2, \lambda_1 \neq \lambda_2Aα1​=λ1​。 由 ，右乘 ，得

λ1α1Tα2=α1TAα2=α1T(λ2α2)=λ2α1Tα2,\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}(\lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2) = \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2,λ1​α1T​α
(λ1−λ2)α1Tα2=0,(\lambda_1 - \lambda_2)\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2 = 0,(λ1​−λ2​)α1T​α

因 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1​=λ2​，故必有 α1Tα2=0\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2 = 0α， 即 与 正交。

例 18 A\boldsymbol{A}A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1,2,31, 2, 31,2,3，λ1=1\lambda_1 = 1λ1​=1 和 λ2=2\lambda_2 = 2λ 的特征向量分别是 和 ，则 的特征向量为 ______。

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    • 1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3
    α1​,α2​,α3​
    γ1,γ2,γ3\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3γ1​,γ2​,γ3​
    γ1,γ2,γ3\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3γ1​,γ2​,γ3​
    γ1,γ2,γ3\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3γ1​,γ2​,γ3​
    Q=(γ1,γ2,γ3)\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3)Q=(γ1​,γ2​,γ3​)
    Q−1AQ=QTAQ=[λ1λ2λ3]\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{AQ} = \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{AQ} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}Q−1AQ=QTAQ=​λ1​​λ2​​
    α
    1​
    ,
    A
    α2​
    =
    λ2​α2​,λ1​=
    λ2​
    Aα1=λ1α1⇒α1TAT=λ1α1T⇒α1TA=λ1α1T\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 \Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A} = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}Aα1​=λ1​α1​⇒α1T​AT=λ1​α1T​⇒α1T​A=λ1​α1T​
    α2\boldsymbol{\alpha}_2α2​
    2​
    =
    α1T​Aα2​=
    α1T​(λ2​α2​)=
    λ2​α1T​α2​,
    2​
    =
    0,
    1
    T
    ​
    α2​
    =
    0
    α1\boldsymbol{\alpha}_1α1​
    α2\boldsymbol{\alpha}_2α2​
    2
    ​
    =
    2
    α1=(−1,−1,1)T\boldsymbol{\alpha}_1 = (-1, -1, 1)^{\mathrm{T}}α1​=(−1,−1,1)T
    α2=(1,a,−1)T\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, a, -1)^{\mathrm{T}}α2​=(1,a,−1)T
    λ3=3\lambda_3 = 3λ3​=3
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