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伴随矩阵、可逆矩阵

伴随矩阵、可逆矩阵

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更新于 2026-10-22
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1. 伴随矩阵的概念与公式

**伴随矩阵：**由矩阵 A\boldsymbol{A}A 的行列式 ∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣ 所有的代数余子式所构成的形如

[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮

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文章大纲

  • 1. 伴随矩阵的概念与公式
  • 2. 可逆矩阵的概念与定理
  • 3. 矩阵可逆的充要条件
  • 4. 逆矩阵的运算性质
  • 5. 求逆矩阵的方法
  • 相关例题
选项
文章 ID: 660

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A1nA2n⋯Ann]\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}
​A11​A12​⋮A1

的矩阵称为矩阵 A\boldsymbol{A}A 的伴随矩阵，记为 A∗\boldsymbol{A}^*A∗。

伴随矩阵的公式：

AA∗=A∗A=∣A∣E.\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A} = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E}.AA∗=A∗A=∣A∣E.
(A∗)−1=(A−1)∗=1∣A∣A(∣A∣≠0).(\boldsymbol{A}^*)^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^* = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A} \quad (|\boldsymbol{A}| \neq 0).(A∗)−1=(A−1)
(kA)∗=kn−1A∗.(k\boldsymbol{A})^* = k^{n-1}\boldsymbol{A}^*.(kA)∗=kn−1A∗.
(A∗)T=(AT)∗.(\boldsymbol{A}^*)^\mathrm{T} = (\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^*.(A∗)T=(AT)∗.
∣A∗∣=∣A∣n−1.|\boldsymbol{A}^*| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}.∣A∗∣=∣A∣n−1.
(A∗)∗=∣A∣n−2A (n⩾2).(\boldsymbol{A}^*)^* = |\boldsymbol{A}|^{n-2}\boldsymbol{A} \ (n \geqslant 2).(A∗)∗=∣A∣n−2A (n⩾
r(A∗)={n,如 r(A)=n,1,如 r(A)=n−1,0,如 r(A)<n−1.r(\boldsymbol{A}^*) = \begin{cases} n, & \text{如 } r(\boldsymbol{A}) = n, \\ 1, & \text{如 } r(\boldsymbol{A}) = n-1, \\ 0, & \text{如 } r(\boldsymbol{A}) < n-1. \end{cases}r(A∗)=

2. 可逆矩阵的概念与定理

定义 设 A\boldsymbol{A}A 是 nnn 阶矩阵，如果存在 nnn 阶矩阵 B\boldsymbol{B}B 使得

AB=BA=E (单位矩阵)\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E} \ (\text{单位矩阵})AB=BA=E (单位矩阵)

成立，则称 A\boldsymbol{A}A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，B\boldsymbol{B}B 是 A\boldsymbol{A}A 的逆矩阵，记成 A−1=B\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}A−1=B。

定理 2.1 若 A\boldsymbol{A}A 可逆，则 A\boldsymbol{A}A 的逆矩阵唯一。

定理 2.2 A\boldsymbol{A}A 可逆 ⇔∣A∣≠0\Leftrightarrow |\boldsymbol{A}| \neq 0⇔∣A∣=0。

定理 2.3 设 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 是 nnn 阶矩阵且 AB=E\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E}AB=E，则 BA=E\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}BA=。

3. 矩阵可逆的充要条件

(1) 存在 nnn 阶矩阵 B\boldsymbol{B}B，使 AB=E\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E}AB=E（或 BA=E\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}BA=E）。
(2) ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0，或秩 ，或 的列（行）向量线性无关。 (3) 齐次方程组 只有零解。 (4) ，非齐次线性方程组 总有唯一解。 (5) 矩阵 的特征值全不为 0。

4. 逆矩阵的运算性质

若 k≠0k \neq 0k=0，A\boldsymbol{A}A 可逆，则 (kA)−1=1kA−1(k\boldsymbol{A})^{-1} = \dfrac{1}{k}\boldsymbol{A}^{-1}(kA)−1=。

若 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 可逆，则 (AB)−1=B−1A−1(\boldsymbol{AB})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}(AB)−1=B−1A，特别地 。

若 AT\boldsymbol{A}^\mathrm{T}AT 可逆，则 (AT)−1=(A−1)T(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^\mathrm{T}(AT)−1=(A；；。

注意 即使 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 和 A+B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}A+B 都可逆，一般地 (A+B)−1≠A−1+B−1(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \neq \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B}^{-1}(A+B)。

5. 求逆矩阵的方法

方法一   用公式，若 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0∣A∣=0，则 A−1=1∣A∣A∗\boldsymbol{A}^{-1} = \dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*A−1=∣。

方法二   初等变换法。(A⋮E)→初等行变换(E⋮A−1)(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{E}) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (\boldsymbol{E} \vdots \boldsymbol{A}^{-1})(A⋮E)初等行变换​(。

方法三   用定义求 B\boldsymbol{B}B，使 AB=E\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E}AB=E 或 BA=E\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}BA=E，则 A\boldsymbol{A}A 可逆，且 A。

方法四   用分块矩阵。

设 B,C\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}B,C 都是可逆矩阵，则

[BOOC]−1=[B−1OOC−1];[OBCO]−1=[OC−1B−1O].\begin{bmatrix} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1} \end{bmatrix}; \quad \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1} \\ \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}.

相关例题

【例6】 若 A=[111121113]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}A=​111​，则 ______。

解析： 【分析】用行变换 (A∣E)→(E∣A−1)(A \mid E) \to (E \mid A^{-1})(A∣E)→(E∣A−1) 的方法：
[111⋮100 ， 故 。

【例7】 设 A=[0a10⋯000a2⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯an−1an00⋯0]A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}，其中 ，则 ______。

解析： 【分析】注意，利用 A∗=∣A∣A−1A^* = |A| A^{-1}A∗=∣A∣A−1，通过 A−1A^{-1}A−1 来求 A∗A^*A 有时会更方便。 对 分块 ， 则 ， 可逆，且 ， 所以 。 【注】这里用到了 ；。

【例8】 设 α=(12,0,⋯ ,0,12)T\boldsymbol{\alpha} = \left(\frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2}\right)^{\mathrm{T}}α=(21​,0,⋯,0, 是 维列向量，矩阵 ，若 是 的逆矩阵，则 ______。

解析： 【分析】
AB=(E−ααT)(E+aααT)=E+aααT−ααT−aααTααT=E+(a−1−αTα)ααT.\begin{aligned} \boldsymbol{AB} &= (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}})(\boldsymbol{E} + a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}) \\ &= \boldsymbol{E} + a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} - a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \\ &= \boldsymbol{E} + (a - 1 - \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}. \end{aligned} 又 ，故 ， 所以 。

【例9】 A\boldsymbol{A}A 是 nnn 阶矩阵，满足 A2−3A−2E=O\boldsymbol{A}^2 - 3\boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} = \boldsymbol{O}A2−3A−2E=O，则 ______。

解析： 【分析】本题矩阵 A\boldsymbol{A}A 没有具体元素，应考虑用定义法。
由 (A+E)(A−4E)+2E=A2−3A−2E=O(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} - 4\boldsymbol{E}) + 2\boldsymbol{E} = \boldsymbol{A}^2 - 3\boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} = \boldsymbol{O}(A+E)(A−4E)+2E=， 即 ， 即 ， 故 。

【例10】 设 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 都是三阶矩阵，且 AB=2A+B\boldsymbol{AB} = 2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}AB=2A+B，若 B=[2020402，则 ______。

解析： 【分析】由 AB=2A+B\boldsymbol{AB} = 2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}AB=2A+B，有
AB−B−2A+2E=2E\boldsymbol{AB} - \boldsymbol{B} - 2\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E} = 2\boldsymbol{E}AB−B−2A+，即 。 故 。

【例11 2001年真题】 已知 A=[100110111],B=[011101110]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}A=，矩阵 满足 ，则 ______。

解析： 【分析】AXA+BXB−AXB−BXA=E\boldsymbol{AXA} + \boldsymbol{BXB} - \boldsymbol{AXB} - \boldsymbol{BXA} = \boldsymbol{E}AXA+BXB−AXB−BXA=E，
(A−B)XA−(A−B)， ， 。

【例12】 设 f(x)=x100+x99+⋯+x+1,A=[100001000]f(x) = x^{100} + x^{99} + \cdots + x + 1, \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}f(x)=x100+x，求 和 。

解析： 【解】因 A2=[100001000][100001000]=[100000000]\boldsymbol{A}^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，又 。 知 （当 时），故 ， 。

【例13】 A\boldsymbol{A}A 是 nnn 阶可逆矩阵，证明：非齐次线性方程组 Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b 有唯一解 A−1b\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}A−1b。

解析： 【证】先证 Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b 有解。因为
A(A−1b)=(AA−1)b=Eb=b\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{AA}^{-1})\boldsymbol{b} = \boldsymbol{Eb} = \boldsymbol{b}A(A−1b)=(， 所以 是方程组的解，故方程组 有解。 再证唯一性。设 是 的任一个解，则 。那么 ， ， ，即 的解唯一。 【注】以三元一次方程组 为例，注意到：唯一解 ，即 ， 。 证明略。这就是克拉默法则的矩阵法证明。

n
​
​
A21​A22​⋮A2n​​
⋯⋯⋯​
An1​An2​⋮Ann​​
​
∗
=
∣A∣1​A(∣A∣=
0).
2
)
.
⎩
⎨
⎧
​
n,1,0,​如 r(A)=n,如 r(A)=n−1,如 r(A)<n−1.​
E
∣A∣=0
r(A)=nr(\boldsymbol{A}) = nr(A)=n
A\boldsymbol{A}A

Ax=0\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{0}Ax=0

∀b\forall \boldsymbol{b}∀b
Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b

A\boldsymbol{A}A
k1​
A−1
−1
(A2)−1=(A−1)2(\boldsymbol{A}^2)^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^2(A2)−1=(A−1)2
−1
)T
(A−1)−1=A(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = \boldsymbol{A}(A−1)−1=A
∣A−1∣=1∣A∣|\boldsymbol{A}^{-1}| = \dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}∣A−1∣=∣A∣1​
−1
=
A−1+
B−1
A
∣
1
​
A∗
E
⋮
A−1
)
−1=B\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}
A−1=B
[BO​OC​]−1=[B−1O​OC−1​];[OC​BO​]−1=[OB−1​C−1O​].
121
​
113​
​
A−1=A^{-1} =A−1=
121⋮010113⋮001]→[111⋮100010⋮−110002⋮−101]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \vdots & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
​111​121​113​⋮⋮⋮​100​010​001​​→​100​110​102​

→[111⋮100010⋮−110001⋮−12012]\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}→​100​110​101​⋮⋮⋮​

→[110⋮320−12010⋮−110001⋮−12012]\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & \frac{3}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}→​100​110​001​⋮⋮⋮​

→[100⋮52−1−12010⋮−110001⋮−12012]\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & \frac{5}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}→​100​010​001​⋮⋮⋮​

A−1=[52−1−12−110−12012]A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}A−1=​25​−1−21​​−110​−21​021​​​
A=​00⋮0an​​a1​0⋮00​0a2​⋮00​⋯⋯⋯⋯​00⋮an−1​0​​
ai≠0,i=1,2,…,na_i \neq 0, i = 1, 2, \ldots, nai​=0,i=1,2,…,n
A∗=A^* =A∗=
∗

AAA
A=[0a1⋯0⋮⋮⋮00⋯an−1an0⋯0]=[OA1A2O]A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} O & A_1 \\ A_2 & O \end{bmatrix}A=​0⋮0an​​a1​[OA2​​A1​O​]

∣A∣=(−1)n−1a1a2⋯an≠0|A| = (-1)^{n-1} a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0∣A∣=(−1)n−1a1​a2​⋯an​=0
AAA

A−1=[00⋯01an1a10⋯0001a2⋯00⋮⋮⋮⋮00⋯1an−10]A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{a_n} \\ \frac{1}{a_1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{a_{n-1}} & 0 \end{bmatrix}A−1=​0a1​1

A∗=∣A∣A−1=(−1)n−1∏ai[00⋯01an1a10⋯0001a2⋯00⋮⋮⋮⋮00⋯1an−10]A^* = |A| A^{-1} = (-1)^{n-1} \prod a_i \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{a_n} \\ \frac{1}{a_1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{a_{n-1}} & 0 \end{bmatrix}A∗=∣A∣A−1=(−1)n−1∏ai​

[OABO]−1=[OB−1A−1O]\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}[OB​AO​]−1=[OA−1​B−1O​]
[a1a2⋱an]−1=[1a11a2⋱1an]\begin{bmatrix} a_1 & & \\ & a_2 & \\ & & \ddots \\ & & & a_n \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_1} & & \\ & \frac{1}{a_2} & \\ & & \ddots \\ & & & \frac{1}{a_n} \end{bmatrix}​a1​​a2​​a1​1​​
2
1
​
)
T
nnn
A=E−ααT,B=E+aααT\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} + a\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}A=E−ααT,B=E+aααT
B\boldsymbol{B}B
A\boldsymbol{A}A
a=a =a=
AB​=(E−ααT)(E+aααT)=E+aααT−ααT−aααTααT=E+(a−1−αTα)ααT.​

αTα=(12,0,⋯ ,0,12)[120⋮012]=12\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha} = \left(\frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2}\right)\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}αTα=(21​,0,⋯,0,21​)​21​0⋮02=21​

AB=E+(a−1−12a)ααT=E⇔(12a−1)ααT=O\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E} + \left(a - 1 - \frac{1}{2}a\right)\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{E} \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}a - 1\right)\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{O}AB=E+(a−1−21​a)ααT=E⇔(21​a−1)ααT=O

a=2a = 2a=2
(A+E)−1=(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})^{-1} =
(A+E)−1=
A2−
3A−
2E=
O

(A+E)(A−4E)=−2E(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} - 4\boldsymbol{E}) = -2\boldsymbol{E}(A+E)(A−4E)=−2E

(A+E)⋅12(4E−A)=E(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) \cdot \frac{1}{2}(4\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{E}(A+E)⋅21​(4E−A)=E

(A+E)−1=12(4E−A)(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})^{-1} = \frac{1}{2}(4\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})(A+E)−1=21​(4E−A)
02]\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}
B=​202​040​202​​
(A−E)−1=(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} =(A−E)−1=
2E=
2E
(A−E)(B−2E)=2E(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})(\boldsymbol{B} - 2\boldsymbol{E}) = 2\boldsymbol{E}(A−E)(B−2E)=2E

(A−E)−1=12(B−2E)=[001010100](\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{B} - 2\boldsymbol{E}) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}(A−E)−1=21​(B−2E)=​001​010​100​
​
111​011​001​
​
,
B
=
​011​101​110​​
X\boldsymbol{X}X
AXA+BXB=AXB+BXA+E\boldsymbol{AXA} + \boldsymbol{BXB} = \boldsymbol{AXB} + \boldsymbol{BXA} + \boldsymbol{E}AXA+BXB=AXB+BXA+E
X=\boldsymbol{X} =X=
XB=E(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B})\boldsymbol{XA} - (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B})\boldsymbol{XB} = \boldsymbol{E}
(A−B)XA−(A−B)XB=E

(A−B)X(A−B)=E(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B})\boldsymbol{X}(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{E}(A−B)X(A−B)=E

X=[(A−B)−1]2=([1−1−101−1001]−1)2\boldsymbol{X} = [(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B})^{-1}]^2 = \left(\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\right)^2X=[(A−B)−1]2=​​100​−11

=[112011001]2=[125012001]= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=​100​110​211​​2=​100​210​521​
99
+
⋯+
x+
1,A=
​100​000​010​​
f(A)f(\boldsymbol{A})f(A)
[f(A)]−1[f(\boldsymbol{A})]^{-1}[f(A)]−1
A2=​100​000​010​​​100​000​010​=​100​000​000​

A3=A2A=[100000000][100001000]=[100000000]=A2\boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \boldsymbol{A}^2A3=A2A=​100​

Am=A2\boldsymbol{A}^m = \boldsymbol{A}^2Am=A2
m⩾2m \geqslant 2m⩾2

f(A)=A100+⋯+A2+A+E=99A2+A+Ef(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{A}^{100} + \cdots + \boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E} = 99\boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}f(A)=A100+⋯+A2+A+E=99A2+A+E

=[9900000000]+[100001000]+[100010001]=[10100011001]= \begin{bmatrix} 99 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 101 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=​9900​000​000​

[f(A)]−1=[10100011001]−1=[11010001−1001][f(\boldsymbol{A})]^{-1} = \begin{bmatrix} 101 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{101} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[f(A)]−1=​10100​010​011​​1011​00​010​
AA−1
)
b
=
Eb=
b

A−1b\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}A−1b
Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b

α\boldsymbol{\alpha}α
Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b
Aα=b\boldsymbol{A\alpha} = \boldsymbol{b}Aα=b

A−1(Aα)=A−1b\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{A\alpha}) = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}A−1(Aα)=A−1b

(A−1A)α=A−1b(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}(A−1A)α=A−1b

⇒α=A−1b\Rightarrow \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}⇒α=A−1b
Ax=b\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}Ax=b

{a11x1+a12x2+a13x3=b1,a21x1+a22x2+a23x3=b2,a31x1+a32x2+a33x3=b3\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2, \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases}⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​+a
α=(x1,x2,x3)T\boldsymbol{\alpha} = (x_1, x_2, x_3)^{\mathrm{T}}α=(x1​,x2​,x3​)T

α=A−1b=1∣A∣A∗b=1∣A∣[A11A21A31A12A22A32A13A23A33][b1b2b3]\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{b} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}α=A−1b=∣A∣1​A∗b=∣A∣1​​A11​A

x1=1∣A∣(b1A11+b2A21+b3A31)=1∣A∣∣b1a12a13b2a22a23b3a32a33∣x_1 = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}(b_1A_{11} + b_2A_{21} + b_3A_{31}) = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}x1​=∣A∣1​(b1​A11​+b2​A21​+b3​A31​)=∣A∣1​​b1​b

x2,x3x_2, x_3x2​,x3​
⋮⋮⋮
​
1−1−1​
010​
001​
​
​
1−1−21​​
010​
0021​​
​
23​−1−21​​
010​
−21​021​​
​
25​−1−21​​
−110​
−21​021​​
⋮
0
0
​
⋯⋯⋯​
0⋮an−1​0​
​
=
​
0
⋮
0
​
00a2​1​⋮0​
⋯⋯⋯⋯​
000⋮an−1​1​​
an​1​00⋮0​
​
​
0a1​1​0⋮0​00a2​1​⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮an−1​1​​an​1​00⋮0​
​
​
⋱​
an​​
​
−1
=
a2​1​
​
⋱​
an​1​​
​
1
​
​
​
​
0
​
−1−11​
​
−1
​
2
​
​
​
0
0
0
​
000​
​
​100​000​010​​
=
​100​000​000​​=
A2
​
+
​100​000​010​​+
​100​010​001​​=
​10100​010​011​​
​
−1
=
0−11​
​
13
​
x3​
=
b1​
,
a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​=b2​,
a31​x1​+a32​x2​+a33​x3​=b3​
​
12
​
A13​
​
A21​A22​A23​​
A31​A32​A33​​
​
​b1​b2​b3​​​
2
​
b3​
​
a12​a22​a32​​
a13​a23​a33​​
​