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3.2 导数应用

3.2 导数应用

更新于 2026-11-01

— 4999 字

1. 函数的单调性

定理设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。 (1) 若在 $(a,b)$ 内 $f^{'}$ ，则在上单调递增。 (2) 若在内，则在上单调递减。

相关内容

伴随矩阵、可逆矩阵
更新于2026-11-01

文章大纲

1. 函数的单调性
2. 函数的极值
3. 函数的最大值与最小值
4. 曲线的凹凸性
5. 曲线的渐近线
6. 函数的作图
7. 曲线的弧微分与曲率
相关例题
心得笔记

文章 ID: 676

相关内容

伴随矩阵、可逆矩阵
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5.3 实对称矩阵
更新于2026-11-01
5.2 相似矩阵
更新于2026-10-31
5.1 特征值和特征向量
更新于2026-10-31
二次型
更新于2026-10-29

(

x

)

>

0

f'(x) > 0

f^{'} (x) > 0

f(x)

[a,b]

(a,b)

f'(x) < 0

f(x)

[a,b]

2. 函数的极值

定义设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。如果对于该邻域内任何 $x$ ，恒有 $f(x) \leqslant f(x_0)$ （或），则称为的一个极大值点（或极小值点），称为的极大值（或极小值）。极大（小）值统称为；极大（小）值点统称为。导数为零的点称为函数的。

定理（极值的必要条件） 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，如果 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点，则。

定理（极值的第一充分条件） 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内可导，且 $f'(x_0) = 0$ （或在处连续）。 (1) 若时，，时，，则为的极大值点。 (2) 若时，，时，，则为的极小值点。 (3) 若在的两侧同号，则不为的极值点。

定理（极值的第二充分条件） 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0) = 0$ 。 (1) 若，则为的极大值点。 (2) 若，则为的极小值点。 (3) 若，则此方法不能判定是否为极值点。

3. 函数的最大值与最小值

定义设函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义， $x_0 \in [a,b]$ 。若对于任意，恒有（或），则称为函数在闭区间上的最大值（或最小值），称为在上的最大值点（或最小值点）。

函数的最值主要有以下两种问题： (1) 求连续函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最大最小值。第一步：求出 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的驻点和不可导的点 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 。第二步：求出在点和区间端点处的函数值

f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), f(a), f(b).

第三步：比较以上各点函数值，其中最大的即为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的即为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。

【注】 当连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内仅有唯一极值点，若在该点 $f(x)$ 取极大值（或极小值），则它也是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值）。

(2) 求最大最小值的应用题。这种问题首先建立目标函数并确定其定义域，然后按照上面的三个步骤求其最大值（或最小值）。

4. 曲线的凹凸性

定义设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ 恒有

f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2},

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；如果恒有

f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2},

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的。

定理设函数 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导，那么 (1) 若在 $(a,b)$ 内有，则在上的图形是凹的。 (2) 若在内有，则在上的图形是凸的。

定义（拐点） 连续曲线弧上的凹与凸的分界点称为曲线弧的拐点。

定理（拐点的必要条件） 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处二阶可导，且点 $(x_0, f(x_0))$ 为曲线的拐点，则。

定理（拐点的第一充分条件） 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内二阶可导，且 $f''(x_0) = 0$ （或在处连续）。 (1) 若在的左、右两侧异号，则点为曲线的拐点。 (2) 若在的左、右两侧同号，则点不为曲线的拐点。

定理（拐点的第二充分条件） 设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处三阶可导，且 $f''(x_0) = 0$ 。 (1) 若，则点为曲线的拐点。 (2) 若，则此方法不能判定是否为曲线的拐点。

5. 曲线的渐近线

定义若点 $M$ 沿曲线 $y = f(x)$ 无限远离原点时，它与某条定直线 $L$ 之间的距离将趋近于零，则称直线 $L$ 为曲线 $y = f(x)$ 的一条渐近线。若直线与轴平行，则称为曲线的水平渐近线；若直线与轴垂直，则称为曲线的铅直渐近线；若直线既不平行于轴，也不垂直于轴，则称直线为曲线的斜渐近线。

(1) 水平渐近线。若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ （或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$ ，或），那么是曲线的水平渐近线。

(2) 铅直渐近线。若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ （或 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ ，或），那么是曲线的铅直渐近线。

(3) 斜渐近线。若 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ 且 $\lim_{x \to \infty} (f (x)$ （或，或），那么是曲线的斜渐近线。

6. 函数的作图

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以作出函数曲线。

7. 曲线的弧微分与曲率

定义设 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有连续导数，则有弧微分

\mathrm{d}s = \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x.

定义设 $y = f(x)$ 有二阶导数，则有曲率

K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}},

称 $\rho = \frac{1}{K}$ 为曲率半径。

定义若曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x,y)$ 处的曲率为 $K(K \neq 0)$ 。在点处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点，使，以为圆心，为半径的圆称为曲线在点处的曲率圆，圆心称为曲线在点处的曲率中心。

相关例题

【例 5】 （2003，数一、二）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图 1 所示，则 $f(x)$ 有

（A）一个极小值点和两个极大值点. （B）两个极小值点和一个极大值点. （C）两个极小值点和两个极大值点. （D）三个极小值点和一个极大值点.

【解】 如图 2 所示，依次标记 $x$ 轴上的交点 $x_1, x_2, x_3(O), x_4$ . 在与点两侧的导函数图像由正变负，为极大值点. 在与点两侧的导函数图像由负变正，为极小值点. 选（C）.

【例 6】 （1990，数一）已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $f(0) = 0, \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = 2$ ，则在点处（A）不可导. （B）可导，且 . （C）取得极大值. （D）取得极小值.

【解】【方法 1】 直接法由 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = 2 > 0$ 及极限的保号性知在的某去心邻域内

$\frac{f(x)}{1 - \cos x} > 0.$

又 $1 - \cos x > 0$ ，则 $f(x) > 0 = f(0)$ ，由极值定义知 $f(x)$ 在处取极小值，则应选（D）.

【方法 2】 排除法由于 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\frac{1}{2}x^2} = 2$ ，则取显然满足题设条件. 但在处可导，且，取极小值，则排除选项（A）（B）（C）. 故应选（D）.

【例 7】 （2021，数一，数二，数三）函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 在处（A）连续且取极大值. （B）连续且取极小值. （C）可导且导数为 . （D）可导且导数不为 .

【解】【方法 1】 直接法

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^x - 1 - x}{x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^x - 1}{2x} = \frac{1}{2}. \end{aligned}$

则 $f'(0) = \frac{1}{2}$ ，故应选（D）.

【例 8】 在半径为 $R$ 的球中内接一直圆锥，试求圆锥的最大体积.

【解】 如图 3， $v = \frac{\pi}{3} x^2 \left(R + \sqrt{R^2 - x^2}\right)$ ，

此形式的目标函数求导较为复杂. 考虑较为简单的目标函数，

$v = \frac{\pi}{3} h \left[R^2 - (h - R)^2\right] = \frac{\pi}{3} h^2 (2R - h) = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3),$

对 $h$ 求导得， $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}h} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2) \xlongequal{\text{令}} 0$ ，由题意得，代入目标函数得 .

【例 9】 （2018，数二、三）曲线 $y = x^2 + 2\ln x$ 在其拐点处的切线方程是 ________.

【解】 $y' = 2x + \frac{2}{x}, y'' = 2 - \frac{2}{x^2}$ ，令得

$x = 1, x = -1\text{（舍去）}.$

拐点为 $(1, 1)$ . 又 $f'(1) = 2 + 2 = 4$ ，则拐点处的切线方程是为

$y - 1 = 4(x - 1),$

即 $y = 4x - 3$ .

【例 10】 （2004，数二、三）设 $f(x) = \vert{}x(1 - x)\vert{}$ ，则（A） $x = 0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0, 0)$ 不是曲线的拐点. （B）不是的极值点，但是曲线的拐点. （C）是的极值点，且是曲线的拐点. （D）不是的极值点，也不是曲线的拐点.

【解】【方法 1】 在 $x = 0$ 的邻域 $(\vert{}x\vert{} < \delta)$ 内

$f(x) = \begin{cases} -x(1 - x), & x < 0, \\ x(1 - x), & x \geqslant 0. \end{cases}$

$f'(x) = \begin{cases} -1 + 2x, & x < 0, \\ 1 - 2x, & x > 0. \end{cases}$

由于 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续， $f'(x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内由负变正，则在处取极小值.

$f''(x) = \begin{cases} 2, & x < 0, \\ -2, & x > 0. \end{cases}$

由于 $f''(x)$ 在 $x = 0$ 的两侧变号， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f(x)$ 的拐点.

【方法 2】 如图 4，先画曲线 $y = x(1 - x)$ （开口朝下抛物线），再画 $f(x) = \vert{}x(1 - x)\vert{}$ （把曲线 $y = x(1 - x)$ 在轴下方的图形对称地翻上去），由图可知，是的极值点，且是曲线的拐点.

【例 11】（2014，数一、二）

下列曲线中有渐近线的是

(A) $y = x + \sin x$ .
(B) $y = x^2 + \sin x$ .
(C) $y = x + \sin \frac{1}{x}$ .

【解】 由渐近线定义可知，若

$f(x) = ax + b + \alpha(x),$

其中 $\lim_{x \to \infty} \alpha(x) = 0$ ，则直线 $y = ax + b$ 为曲线 $y = f(x)$ 的斜渐近线。

由此可知，曲线

$y = x + \sin \frac{1}{x}$

当 $x \to \infty$ 时， $\sin \frac{1}{x} \to 0$ ，故直线 $y = x$ 为其斜渐近线，应选 (C)。

【例 12】（2007，数一、二）

曲线 $y = \frac{1}{x} + \ln(1 + \mathrm{e}^x)$ 渐近线的条数为

(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.

【解】 由于 $\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x} + \ln(1 + \mathrm{e}^x) \right] = \infty$ ，则为曲线的铅直渐近线；

由于 $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \left[ \frac{1}{x} + \ln(1 + \mathrm{e}^x) \right] = 0$ （），则为曲线的水平渐近线；

由于 $-\infty$ 一侧已有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在 $+\infty$ 一侧，又

$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{1}{x^2} + \frac{\ln(1 + \mathrm{e}^x)}{x} \right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{1 + \mathrm{e}^x} = 1,$

$\begin{aligned} b &= \lim_{x \to +\infty} (y - ax) = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{1}{x} + \ln(1 + \mathrm{e}^x) - x \right] \\ &= \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{1}{x} + \ln(1 + \mathrm{e}^x) - \ln \mathrm{e}^x \right] \\ &= \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{1}{x} + \ln\left(1 + \frac{1}{\mathrm{e}^x}\right) \right] = 0, \end{aligned}$

则曲线有斜渐近线 $y = x$ ，故该曲线有三条渐近线，应选 (D)。

【例 13】（2017，数二）

曲线 $y = x\left(1 + \arcsin \frac{2}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为 y = x + 2。

【解】 由于 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \arcsin \frac{2}{x}\right) = 1 = a$ ，

$\lim_{x \to \infty} (y - ax) = \lim_{x \to \infty} x \arcsin \frac{2}{x} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{2}{x} = 2 = b,$

则斜渐近线为 $y = x + 2$ 。

例 12

例 13

心得笔记

2012年13题考到了曲率，但公式不记得。另外点的坐标要写全

5.3 实对称矩阵

更新于2026-11-01

5.2 相似矩阵

更新于2026-10-31

二次型

更新于2026-10-29

f(x0)

f(x) \geqslant f(x_0)

x_0

f(x)

f(x_0)

f(x)

极值

极值点

驻点

f (x)

f'(x_0) = 0

0

)

=

0

f(x)

x_0

x < x_0

f'(x) > 0

x > x_0

f'(x) < 0

x_0

f(x)

x < x_0

f'(x) < 0

x > x_0

f'(x) > 0

x_0

f(x)

f'(x)

x_0

x_0

f(x)

0

)

=

0

f''(x_0) < 0

x_0

f(x)

f''(x_0) > 0

x_0

f(x)

f''(x_0) = 0

x_0

]

x \in [a,b]

f(x) \leqslant f(x_0)

f(x) \geqslant f(x_0)

f(x_0)

f(x)

[a,b]

x_0

f(x)

[a,b]

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

f(x)

x_1, x_2, \cdots, x_n

a, b

n

)

,

f

(

a

)

,

f

(

b

)

.

b

]

)

<

2f(x1)+f(x2),

)

>

2f(x1)+f(x2),

f''(x) > 0

f^{''} (x) > 0

f(x)

[a,b]

(a,b)

f''(x) < 0

f(x)

[a,b]

f

(

x0

))

y = f(x)

f''(x_0) = 0

0

)

=

0

f(x)

x_0

f''(x)

x_0

(x_0, f(x_0))

y = f(x)

f''(x)

x_0

(x_0, f(x_0))

y = f(x)

0

)

=

0

f'''(x_0) \neq 0

(x_0, f(x_0))

y = f(x)

f'''(x_0) = 0

(x_0, f(x_0))

y = f(x)

L

L

x

L

y = f(x)

L

x

L

y = f(x)

L

x

x

L

y = f(x)

f

(

x

)

=

A

\lim_{x \to +\infty} f(x) = A

y = A

y = f(x)

x→x0−

f

(

x

)

=

∞

\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty

x = x_0

y = f(x)

-

a

x

)

=

b

\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b

lim_{x \to \infty} (f (x) - a x) = b

x \to -\infty

x \to +\infty

y = ax + b

y = f(x)

′′

∣

,

M

M

D

|DM| = \frac{1}{K} = \rho

D

\rho

M

D

M

x

4

x_1

x_3

x_2

x_4

→

0

1−cosxf(x)

=

2

x = 0

f(x)

f'(0) \neq 0

>

0

x = 0

x = 0

x = 0

=

limx→021x2f(x)=

2

f(x) = x^2

f(x) = x^2

x = 0

f'(0) = 0

xex−1,1,x=0,x=0

x = 0

0

0

x→0

lim

xf(x)−f(0)

=x→0limxxex−1−1=x→0limx2ex−1−x=x→0lim2xex−1=21

2

−

x2

)

2

−

(

h

−

R

)2

]

=

3πh2(2R−

h)=

3π(2Rh2−

h3),

π

(

4

R

h

−

3h2)令

0

h = \frac{4}{3}R

v = \frac{32}{81}\pi R^3

′′

=

2−

x22

y'' = 0

(0, 0)

(0, 0)

y = f(x)

x = 0

f(x)

(0, 0)

y = f(x)

x = 0

f(x)

(0, 0)

y = f(x)

x = 0

f(x)

(0, 0)

y = f(x)

x<0,x⩾0.

x

,

x<0,x>0.

f (x)

f(x)

f (x)

x = 0

x<0,

x>0.

f

(

x

)

y = x (1 - x)

x

x = 0

f(x)

(0, 0)

y = f(x)

y

=

x+

sinx1

(D)

y = x^2 + \sin \frac{1}{x}

.

y=

f(x)

x

1

+

ln

(

1

+

ex

)

]

=

∞

x = 0

x1

+

ln

(

1

+

ex

)

]

=

0

\lim_{x \to +\infty} y = +\infty

y = 0

xy

=

limx→+∞[x21+xln(1+ex)]=

limx→+∞x21+

limx→+∞1+exex=

1,

b = x \to + \infty lim (y - a x) = x \to + \infty lim [\frac{1}{x} + ln (1 + e^{x}) - x] = x \to + \infty lim [\frac{1}{x} + ln (1 + e^{x}) - ln e = x \to + \infty lim [\frac{1}{x} + ln (1 + e ^{x}

x→∞

(1+arcsinx2)

=

1=

a

x

arcsin

x2

=

limx→∞x⋅

x2=

2=

b,

5.1 特征值和特征向量

更新于2026-10-31

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.

x

]

1

)

]

=

0

,

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