7.4 高阶线性微分方程

齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.$ ①
非齐次方程 $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+p($ ②

定理 如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程 ① 的两个线性无关的特解，那么 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 就是方程 ① 的通解。

【注】 方程 ① 的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。

定理 如果 $y^*$ 是非齐次方程 ② 的一个特解，$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程 ① 的两个线性无关的特解，则 是非齐次微分方程 ② 的通解。

定理 如果 $y_1^*(x), y_2^*(x)$ 是非齐次方程 ② 的两个特解，则 $y(x) = y_2^*(x) - y_1^*(x)$ 是齐次微分方程 ① 的解。

定理 如果 $y_1^*(x), y_2^*(x)$ 分别是方程 $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+p(x)y^{\mathrm{\prime }}+q(x)y=f_1$ 的特解，则 是方程 的一个特解。

2. 常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为 $y'' + py' + qy = 0, ......$ 其特征方程为 $r^2+pr+q=0$，设 为该方程的两个根。

(1) 若 $r_1 \neq r_2$ 为两个不相等的实特征根，则方程 ③ 的通解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.$

(2) 若 $r_1 = r_2$ 为二重实特征根，则方程 ③ 的通解为 $y =(C_1 + C_2 x)e^{r_1 x}.$

(3) 若 $r_1 = \alpha + i\beta, r_2 = \alpha - i\beta$ 为一对共轭复根，则方程 ③ 的通解为

3. 常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为 $y'' + py' + qy = f(x). ......$

(1) 若 $f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$，其中 $P_m(x)$ 为 的 次多项式，则方程 ④ 的特解可设为

其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的一般多项式，$k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数。

(2) 若 $f(x) = e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)\cos \beta x + P_n^{(2)}(x)\sin \beta x]$，其中 分别为 的 次、 次多项式，则方程 ④ 的特解可设为 其中 是两个 次多项式，。 当 不是方程 ③ 的特征根时，取 。 当 是方程 ③ 的特征根时，取 。

相关例题

【例 6】 （2013, 数三）微分方程 $y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0$ 的通解为 。

解 方程 $y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0$ 的特征方程为 ，解得两个根为 ， 则所求的通解为 ，其中 为任意常数。

【例 7】（1996, 数三）微分方程 $y'' + 2y' + 5y = 0$ 的通解为 $y = \underline{}$。

解 $r^2 + 2r + 5 = 0, r_{1,2} = -1 \pm 2i, \alpha = -1, \beta = 2.$

【例 8】（2010, 数二）三阶常系数线性齐次微分方程 $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$ 的通解为 。

解 特征方程为 $r^3 - 2r^2 + r - 2 = 0,$ $(r - 2)(r^2 + 1) = 0,$ 则该方程通解为

【例 9】（1995, 数三）微分方程 $y'' + y = -2x$ 的通解为 $y = \underline{\qquad\qquad}$。

解 $r^2 + 1 = 0, r = \pm i$，故对应齐次方程的通解为： $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$ 设原方程特解：。 ，故 。 故，，其中 为任意常数。

【例 10】（2007, 数一、二）二阶常系数非齐次线性微分方程 $y'' - 4y' + 3y = 2e^{2x}$ 的通解为 $$。

解 齐次微分方程的特征方程为 $r^2 - 4r + 3 = 0,$ $(r - 3)(r - 1) = 0,$ 则齐次方程通解为 令非齐次方程特解为 代入原方程得 则 ，则原方程通解为

心得笔记

1. 线性就是指方程中每一阶导数的系数都是一次，线性微分方程考的是解的结构，怎么解不考
2. 有几阶导就意味着有几个 C，这意味着做了 n 次不定积分
3. 线性的不要求解出来，考研范围内降阶不了就搞不来
4. 常系数的意味着 p q 是常数，不带 x。
5. 常系数的同通解要写 C1 、C2 为任意常数
6. 三阶方程，试根法，分离出因式，再用总的式子来除
7. 10年题比较特殊，演示了3阶的，该如何组合。反正实根根复数根的通解线性组合在一起就行了
8. 非齐次的用关系来做。特解部分是没有C的