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7.1-7.2 常微分方程的基本概念、一阶微分方程 | 花野猫的数字花园

7.1-7.2 常微分方程的基本概念、一阶微分方程

7.1-7.2 常微分方程的基本概念、一阶微分方程

更新于 2026-09-11

— 2394 字

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一、常微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，简称方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。
微分方程的解：满足微分方程的函数，称为该方程的解。
微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。
微分方程的特解：微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。
初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件。
积分曲线：方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。

二、一阶微分方程

1. 可分离变量的方程

能表示为 $g(y)\,\mathrm{d}y = f(x)\,\mathrm{d}x$ 的方程，称为可分离变量的方程。

求解的方法是两端积分：

\int g(y)\,\mathrm{d}y = \int f(x)\,\mathrm{d}x.

相关内容

文章大纲

一、常微分方程的基本概念
二、一阶微分方程

1. 可分离变量的方程
2. 齐次微分方程
3. 一阶线性微分方程

心得笔记

文章 ID: 597

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∫g(y)dy=

∫f(x)dx.

【例 1】（2006，数一、二）微分方程 $\displaystyle y' = \frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是______。

解：

\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(1-x)}{x}, && \frac{\mathrm{d}y}{y} = \frac{1-x}{x}\,\mathrm{d}x, \\[8pt] & \int \frac{\mathrm{d}y}{y} = \int \frac{1-x}{x}\,\mathrm{d}x, && \ln|y| = \ln|x| - x + C_1, \\[8pt] & \ln\left|\frac{y}{x}\right| = -x + C_1, && \left|\frac{y}{x}\right| = e^{C_1}e^{-x}, \\[8pt] & \frac{y}{x} = \pm e^{C_1}e^{-x} = Ce^{-x}, && y = Cxe^{-x}, \quad C \text{ 为任意常数}. \end{aligned}

2. 齐次微分方程

能化为 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi\!\left(\frac{y}{x}\right)$ 的微分方程称为齐次微分方程。

求解齐次微分方程的一般方法：令 $\displaystyle u = \frac{y}{x}$ ，则 $y' = u + xu'$ ，从而将原方程化为 $xu' = \varphi(u) - u$ ，此方程为可分离变量的方程。

【例 2】（1993，数一、二）求微分方程 $x^2y' + xy = y^2$ 满足初始条件 $y(1)=1$ 的特解。

解：原方程为齐次方程，可改写为 $\displaystyle y' = \left(\frac{y}{x}\right)^2 - \frac{y}{x}$ 。

令 $\displaystyle u = \frac{y}{x}$ ，则 $xu' + u = u^2 - u$ ，即

xu' = u^2 - 2u,

分离变量得

\frac{\mathrm{d}u}{u^2 - 2u} = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.

积分得

\frac{1}{2}\bigl(\ln|u-2| - \ln|u|\bigr) = \ln|x| + C_1,

\frac{u-2}{u} = Cx^2,

即

\frac{y-2x}{y} = Cx^2.

由 $y(1)=1$ ，得 $C=-1$ ，得所求的特解为 $\displaystyle \frac{y-2x}{y} = -x^2$ ，即

y = \frac{2x}{1+x^2}.

3. 一阶线性微分方程

形如 $y' + p(x)y = q(x)$ 的方程称为一阶线性微分方程。

求解一阶线性微分方程的一般方法：常数变易法，或直接利用以下通解公式：

y = e^{-\int p(x)\,\mathrm{d}x} \left[ \int q(x)\,e^{\int p(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right].

【例 3】（2008，数二、四）微分方程 $(y + x^2e^{-x})\,\mathrm{d}x - x\,\mathrm{d}y = 0$ 的通解是______。

解：

\begin{aligned} & (y + x^2e^{-x}) - x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0, \\[6pt] & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \frac{1}{x}y = xe^{-x}, \end{aligned}

由线性方程通解公式得

\begin{aligned} y &= e^{-\int -\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x} \left( \int xe^{-x}\,e^{\int -\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right) \\[6pt] &= x \left( \int e^{-x}\,\mathrm{d}x + C \right) \\[6pt] &= x(-e^{-x} + C) \\[6pt] &= x(C - e^{-x}), \quad \text{其中 } C \text{ 为任意常数}. \end{aligned}

心得笔记

#微分方程 #一阶线性微分方程 #考研数学 #高等数学 #对数 #lnx

可分离变量的方程遇到的第一个问题是，不知道怎么移项，反应不过来可以把含 x、y 的项移到分母上去（大多都是这种情况）。

一阶线性微分方程求解时，遇到 e 的 -lnx 次，想当然地以为是 -x ，结果实际上是 x分之一。另外公式里的 C 是在括号里的，不能提出来！

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,

∫ydy=∫x1−xdx,

lnxy=−x+C1,

xy=±eC1e−x=Ce−x,

ydy=x1−xdx,ln∣y∣=ln∣x∣−x+C1,xy=eCy=Cxe−x,C 为任意常数.

∫−x1dx

d

x

+

C

)

=x(∫e−xdx+C)

=x(−e−x+C)

=x(C−e−x),其中 C 为任意常数.

1

e−x

,