6.1 定积分的几何应用

(2) 若平面域 $D$ 由曲线 $r = r(\theta), \theta = \alpha, \theta = \beta (\alpha < \beta)$ 所围成，则其面积为 $S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) \mathrm{d}\theta.$

2. 旋转体体积

若区域 $D$ 由曲线 $y = f(x)(f(x) \geqslant 0)$ 和直线 $x = a, x = b(0 \leqslant a < b)$ 及 $x$ 轴所围成，则

(1) 区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为 $V_x = \pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x.$

(2) 区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为 $V_y = 2\pi \int_a^b xf(x) \mathrm{d}x.$

3. 曲线弧长

(1) $C: y = y(x), a \leqslant x \leqslant b$. $s = \int_a^b \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x.$

(2) $C: \begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \end{cases} \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta.$ $s = \int_\alpha^\beta \sqrt{x'^2 + y'^2} \mathrm{d}t.$

(3) $C: r = r(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta.$ $s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + r'^2} \mathrm{d}\theta.$

4. 旋转体侧面积

曲线 $y = f(x)(f(x) \geqslant 0)$ 和直线 $x = a, x = b(0 \leqslant a < b)$ 及 $x$ 轴所围成区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的侧面积为 $S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + f'^2(x)} \mathrm{d}x.$

定积分的几何应用相关例题

【例 1】 (2014, 数三) 设 $D$ 是由曲线 $xy + 1 = 0$ 与直线 $y + x = 0$ 及 $y = 2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积为 ________。

解 所求面积为 $\begin{aligned} S &= \iint_D 1 \mathrm{d}\sigma = \int_1^2 \mathrm{d}y \int_{-y}^{-\frac{1}{y}} \mathrm{d}x \\ &= \int_1^2 \left(y - \frac{1}{y}\right) \mathrm{d}y = \left(\frac{1}{2}y^2 - \ln y\right)\bigg|_1^2 \\ &= 2 - \ln 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \ln 2. \end{aligned}$

【例 2】 (2013, 数二) 设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = \cos 3\theta (-\frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6})$，则 $L$ 所围平面图形的面积是 ________。

解 【方法 1】 $\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 3\theta \mathrm{d}\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 3\theta \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 6\theta) \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2} \left(\theta + \frac{1}{6}\sin 6\theta\right)\bigg|_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{12}. \end{aligned}$

【方法 2】 $S = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 3\theta \mathrm{d}\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 3\theta \mathrm{d}\theta \xlongequal{3\theta = t} \frac{1}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \mathrm{d}t$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}.$

【例 3】 (2015, 数二、三) 设 $A > 0, D$ 是由曲线段 $y = A\sin x (0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2})$ 及直线 $y = 0, x = \frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，$V_1, V_2$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积。若 $V_1 = V_2$，求 $A$ 的值。

解 $V_1 = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} A^2 \sin^2 x \mathrm{d}x = \pi A^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2 A^2}{4}.$ $\begin{aligned} V_2 &= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cdot A\sin x \mathrm{d}x = -2\pi A \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \mathrm{d}\cos x \\ &= -2\pi A \left(x\cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{d}x\right) \\ &= -2\pi A (0 - 1) = 2\pi A. \end{aligned}$ 又 $V_1 = V_2$，则 $\frac{\pi^2 A^2}{4} = 2\pi A,$ 解得 $A = \frac{8}{\pi}$。

【例 4】 (2012, 数二) 过点 $(0, 1)$ 作曲线 $L: y = \ln x$ 的切线，切点为 $A$，又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $AB$ 围成。求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解 求切线有如下两个方法：

【方法 1】 设切点 $A$ 的坐标为 $(x_0, y_0)$，则切线方程为 $y - y_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0),$ 将点 $(0, 1)$ 代入，得 $x_0 = e^2, y_0 = 2$。

【方法 2】 设过点 $(0, 1)$ 的切线方程为 $y - 1 = kx$， 其与 $y = \ln x$ 相切，则满足 $\ln x - 1 = kx, k = \frac{1}{x}$， 解得 $x = e^2, y = 2, (e^2, 2)$ 为切点，从而 $k = \frac{1}{e^2}$。

所以切线方程为 $y = \frac{x}{e^2} + 1$。

所求面积为 $\begin{aligned} S &= \int_1^{e^2} \ln x \mathrm{d}x - \frac{1}{2}(e^2 - 1) \cdot 2 \\ &= x\ln x \bigg|_1^{e^2} - \int_1^{e^2} \mathrm{d}x - e^2 + 1 \\ &= 2e^2 - e^2 + 1 - e^2 + 1 \\ &= 2. \end{aligned}$ (这题好多同学出错是因为审题不仔细，草图画错。)

所求体积为 $\begin{aligned} V &= \pi \int_1^{e^2} \ln^2 x \mathrm{d}x - \frac{\pi}{3} \cdot 4 \cdot (e^2 - 1) \\ &= \pi (x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x) \bigg|_1^{e^2} - \frac{4\pi}{3}(e^2 - 1) \\ &= \frac{2\pi}{3}(e^2 - 1). \end{aligned}$

心得笔记

2012 年数二题的这道定积分应用的题，是一道曲线在某个切点，与曲线上另一个点连成的割线，与曲线围成面积的题。做这道题，不论我是以 x 为积分变量，还是以 y 为积分变量，结果都算错。原因是：计算过程中完全没意识到，有两条直线！我计算出切线之后，就一直使用切线方程作为下函数来做定积分，但围成面积的，总是割线！割线！割线！切线和曲线围不成面积！！！。另外，如果图中出现了规则图形，例如下半部分是三角形，直接计算即可，写方程去求积分多费了事还容易积错。做这道题又令我搞清楚了一个不定积分： lnx 的不定积分直接用分部积分就可以求出：结果是 xlnx-x+C ！我连这个常识都不知道！！！一道大题做好几遍都是错，加油！

圆盘法算旋转体体积，积分前面的Π忘记乘，再这样下去就死翘翘啦。

旋转体的体积：积分变量与旋转轴一致的情况。我以为可以用面积乘以2π 来计算，但实际上这样就忽略了帕普斯定理，就是实际上不是乘以2π，而要用面积乘以图形扫过的周长的平均值，也就是质心走过的圆周周长。

旋转轴与积分变量不一致的情况，如果换积分变量不好积分时，实际上可以用柱壳法，先用周长乘高，再乘dx

旋转椭球体的体积只能算一次，抽上半部分来算，不要重复计算。椭圆以x轴旋转一周和以y轴旋转一周得到的体积并不相等。（柿子🍅和橄榄球🏈）

#柱壳法 #定积分的应用 #几何 #lnx的不定积分 #大题 #应用题 #立体图形 #割线 #切线

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tikz 源码

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
%坐标轴
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw[->] (-1,0) -- (10,0) node[right] {$x$};
\node at (-0.3,-0.3) {$O$};
%曲线 y=lnx
\draw[thick] plot[domain=0.3:9,smooth] (\x,{ln(\x)});
\node at (1.1,-1.1) {$L$};
%B点(1,0)
\fill (1,0) circle (2pt);
\node[above right] at (0.55,0.17) {$B$};
%A点：切点(e²,2)，切线y=x/e²+1过(0,1)
\pgfmathsetmacro{\xa}{e^2}
\pgfmathsetmacro{\ya}{ln(\xa)}
\fill (\xa,\ya) circle (2pt);
\node[above right] at (\xa,\ya) {$A$};
%切线：y = x/e² + 1，过(0,1)与A(e²,2)
\draw[thick] (-0.8,{-0.8/(e^2)+1}) -- (9,{9/(e^2)+1});
%直线AB，连接A(e²,2)与B(1,0)
\draw[thick] (1,0) -- (\xa,\ya);
%阴影填充：曲线y=lnx 和直线AB围成区域
\fill[pattern=north west lines]
    plot[domain=1:\xa,smooth] (\x,{ln(\x)})
    -- plot[domain=\xa:1] (\x,{(2/(e^2-1))*(\x-1)})
    -- cycle;
\end{tikzpicture}

定积分求弧长：

\documentclass[tikz,border=10pt]{standalone}
\usepackage{amsmath}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1.3]
    % 坐标轴
    \draw[->, thick] (-0.5, 0) -- (6.5, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 4.5) node[above] {$y$};
    \node[below left] at (0, 0) {$O$};
    % 曲线函数 y = f(x)
    \draw[domain=0.8:5.5, smooth, variable=\x, thick] 
        plot ({\x}, {0.12*(\x-1.5)*(\x-1.5) + 0.8}) 
        node[right] {$y = f(x)$};
    % 积分区间 [a, b]
    \def\xa{1.2}
    \def\xb{5.0}
    \def\ya{0.12*(\xa-1.5)*(\xa-1.5) + 0.8}
    \def\yb{0.12*(\xb-1.5)*(\xb-1.5) + 0.8}
    % 区间端点虚线与标注
    \draw[dashed] (\xa, 0) -- (\xa, \ya);
    \draw[dashed] (\xb, 0) -- (\xb, \yb);
    \node[below] at (\xa, 0) {$a$};
    \node[below] at (\xb, 0) {$b$};
    \filldraw[black] (\xa, \ya) circle (1.5pt);
    \filldraw[black] (\xb, \yb) circle (1.5pt);
    % 微元位置 (x0, y0) 到 (x1, y1)
    \def\xO{2.6}
    \def\xI{3.8}
    \def\yO{0.12*(\xO-1.5)*(\xO-1.5) + 0.8}
    \def\yI{0.12*(\xI-1.5)*(\xI-1.5) + 0.8}
    % 微元特征直角三角形 (dx, dy)
    \draw[dashed] (\xO, \yO) -- (\xI, \yO) node[midway, below] {$\text{d}x$};
    \draw[dashed] (\xI, \yO) -- (\xI, \yI) node[midway, right] {$\text{d}y$};
    
    % 微元直角标记
    \draw (\xI-0.2, \yO) -- (\xI-0.2, \yO+0.2) -- (\xI, \yO+0.2);
    % 斜弦长/切线微元近似 ds（用加粗线型进行视觉区分）
    \draw[ultra thick] (\xO, \yO) -- (\xI, \yI) 
        node[above left, at end] {$\text{d}s \approx \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2}$};
    % 微元两端点
    \filldraw[black] (\xO, \yO) circle (1.5pt) node[above left] {$P(x, y)$};
    \filldraw[black] (\xI, \yI) circle (1.5pt) node[right] {$Q(x+\text{d}x, y+\text{d}y)$};
    % x 轴投影
    \draw[dotted] (\xO, 0) -- (\xO, \yO);
    \draw[dotted] (\xI, 0) -- (\xI, \yI);
    \node[below, font=\small] at (\xO, 0) {$x$};
    \node[below, font=\small] at (\xI, 0) {$x+\text{d}x$};
    % 公式说明框
    \node[draw=black, rounded corners, align=left, font=\small] at (3.2, 3.8) {
        $\text{d}s = \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\text{d}x$\\[1mm]
        $\displaystyle s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\text{d}x$
    };
\end{tikzpicture}
\end{document}