三角函数恒等式不熟，不定积分寸步难行

不定积分中tan²x与cot²x的处理方法

此笔记关联：求导公式、三角函数常用公式（三角恒等式）、不定积分基本公式、第二不定积分换元法、分部积分法。参考例题

求解不定积分的时候，碰到$\tan^2 x$ 或者 $\cot^2 x$，要知道$\tan^2 x$、$\cot^2 x$是没有直接可用的积分公式的，但是！$\sec^2 x$ 和 $\csc^2 x$ 的积分公式是现成可用的： $(\tan x)'=\sec^2 x$ $(\cot x)'=-\csc^2 x$

此时依靠三角恒等式做变形： $\tan^2 x=\sec^2 x-1$ $\cot^2 x=\csc^2 x-1$

这样$\tan^2 x$可转换成$\sec^2 x-1$再拆开计算。同理，$\cot^2 x$可转换成$\csc^2 x-1$，再分项积分。

积分的时候也要注意正负号，因为余切的求导结果会自带负号。 $\int \csc^2 x \,dx=-\cot x+C$ 所以对$\cot^2 x$积分展开后，处理$\csc^2 x$这一项时，不要漏掉前面的负号，避免结果符号出错。

参考例题：

1. (1998，数二)$\displaystyle\int \frac{\ln\sin x}{\sin^2 x}\mathrm dx=\underline{\quad\quad}.$
2. $\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\mathrm{d}x. \quad\quad (4)\int \sqrt{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x.$

文字语言讲解：求解不定积分的时候，碰到 tanx 的平方 或者 cot 平方，要知道正切或者余切平方是没有直接可用的积分公式的，但是！secx的平方和cscx 的平方有！因为 tanx 求导得 secx的平方 ，cotx 求导得负cscx 的平方，此时依靠三角恒等式做变形：正切平方可以写成正割平方减一，余切平方可以写成余割平方减一，这样正切平方可转换成正割平方减一再拆开计算。同理，余切平方可转换成余割平方减一，再分项积分。

考研数学，那些忘掉的初高中数学基础知识，终究都得补回来。