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向量组的秩、矩阵的秩

向量组的秩、矩阵的秩

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更新于 2026-10-25
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1. 向量组的秩

定义 向量组 αi1,αi2,⋯ ,αir(1⩽ir⩽s)\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r} (1 \leqslant i_r \leqslant s)αi1​​,αi 是向量组 的部分组，满足条件 (1) 线性无关。 (2) 中加入任一向量 后向量组 线性相关，则称向量组 是向量组 的。

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文章大纲

  • 1. 向量组的秩
  • 2. 矩阵的秩
  • 相关例题
  • 心得笔记
选项
文章 ID: 670

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2
​
​
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⋯
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αir​​
(
1
⩽
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s)
α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sα1​,α2​,⋯,αs​

αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}αi1​​,αi2​​

αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}αi1​​,αi2​​
αi(1⩽i⩽s)\boldsymbol{\alpha}_i (1 \leqslant i \leqslant s)αi​(1⩽i⩽s)
αi1,αi2,⋯ ,αir,αi\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}, \boldsymbol{\alpha}_iαi1​​,αi2​
αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}αi1​​,αi2​​
α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sα1​,α2​,⋯,αs​
极大线性无关组

条件(2)的等价说法是：向量组中任一向量 αi(1⩽i⩽s)\boldsymbol{\alpha}_i (1 \leqslant i \leqslant s)αi​(1⩽i⩽s) 均可由 αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}α 线性表出。

向量组的极大无关组一般不唯一，但极大无关组的向量个数是一样的。只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身。

向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩，记为 r(α1,α2,⋯ ,αs)r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)r(α1​,α2​,⋯,αs​)。

定义 设向量组
(I)α1,α2,⋯ ,αs(\text{I}) \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s(I)α1​,α2​,⋯,αs​.   . 若 中的每个向量 均可由 线性表出，则称 可由 线性表出。若向量组 可以相互表出，则称向量组 是，记成 。

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。
一个向量组中各极大无关组之间是等价向量组，且向量个数相同。

定理 3.8 如果向量组 (I)(\text{I})(I) 可由向量组 (II)(\text{II})(II) 线性表出，则 r(I)⩽r(II)r(\text{I}) \leqslant r(\text{II})r(I)⩽r(II)。

推论 如果向量组 (I)(\text{I})(I) 和 (II)(\text{II})(II) 等价，则 r(I)=r(II)r(\text{I}) = r(\text{II})r(I)=r(II)。

2. 矩阵的秩

定义 在 m×nm \times nm×n 矩阵 A\boldsymbol{A}A 中，任取 kkk 行与 kkk 列 (k⩽m,k⩽n)(k \leqslant m, k \leqslant n)(k⩽m,k⩽，位于这些行与列的交叉点上的 个元素按其在原来矩阵 中的次序可构成一个 阶行列式，称其为矩阵 的一个 阶子式。

定义（矩阵的秩） 设 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵，若 A\boldsymbol{A}A 中存在 rrr 阶子式不等于零，高于 rrr 阶的子式均等于零，则称矩阵 A\boldsymbol{A}A 的秩为 ，记成 ，零矩阵的秩规定为 0。

r(A)=r⇔r(\boldsymbol{A}) = r \Leftrightarrowr(A)=r⇔ 矩阵 A\boldsymbol{A}A 中非零子式的最高阶数是 rrr。
r(A)<r⇔Ar(\boldsymbol{A}) < r \Leftrightarrow \boldsymbol{A}r(A)<r 中每一个 阶子式全为 0。 中有 阶子式不为 0。 特别地，， 。

若 A\boldsymbol{A}A 是 nnn 阶矩阵，r(A)=n⇔∣A∣≠0⇔Ar(\boldsymbol{A}) = n \Leftrightarrow |\boldsymbol{A}| \neq 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{A}r(A)=n⇔∣A∣=0⇔ 可逆。 不可逆。

若 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵，则 r(A)⩽min⁡(m,n)r(\boldsymbol{A}) \leqslant \min(m, n)r(A)⩽min(m,n)。

定理 3.9 经初等变换，矩阵的秩不变。

矩阵秩的公式
r(A)=r(AT);r(ATA)=r(A)r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}); r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A})r(A)=r(AT);r(ATA)=。 当 时，。 ， 。 若 可逆，则 。 若 是 矩阵， 是 矩阵，，则 。 分块矩阵 。

定理 3.10（三秩相等） 设 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵，将 A\boldsymbol{A}A 以行及列分块，得

Am×n=[α1α2⋮αm]=[β1,β2,⋯ ,βn],\boldsymbol{A}_{m \times n} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_m \end{bmatrix} = [\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n],Am×n​=

则有 r(A)r(\boldsymbol{A})r(A) (矩阵 A\boldsymbol{A}A 的秩) =r(α1,α2,⋯ ,αm)= r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)=r(α1​,α ( 的行秩) ( 的列秩)。

例如：矩阵 A=[12−1300150000]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}A=​10。

A\boldsymbol{A}A 中有二阶子式 ∣1−101∣≠0\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \neq 0​10​−， 中的三阶子式 全为 0。故 。

A\boldsymbol{A}A 的列向量 α1=[100],α2=[200],α3=[−110],α4=[350]\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{\alpha}_4 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}，极大无关组是 ，故 的列秩 。

A\boldsymbol{A}A 的行向量组 β1=(1,2,−1,3),β2=(0,0,1,5),β3=(0,0,0,0)\boldsymbol{\beta}_1 = (1, 2, -1, 3), \boldsymbol{\beta}_2 = (0, 0, 1, 5), \boldsymbol{\beta}_3 = (0, 0, 0, 0)β1​=(1,2,−1,3，极大无关组是 ，故 的行秩 。

相关例题

例 13 向量组 α1=(1,−1,2,4)T,α2=(0,3,1,2)T,α3=(3,0,7,14)T,α4=(1,−2,2,0)T,α5=(2,−1,5,2)T\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,-1,2,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2 = (0,3,1,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3 = (3,0,7,14)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4 = (1,-2,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_5 = (2,-1,5,2)^{\mathrm{T}}α1​ 的极大线性无关组是______。

解析： 【分析】对列向量作初等行变换化为阶梯形，有 (α1,α2,α3,α4,α5)=[10312−130−2−121725421402]→[1031 记 ， 此时每行第 1 个非 0 数在第 1,2,4 列，故 是一个极大线性无关组。 【注】由 ， ， 即 ，故知 。 于是用极大线性无关组 表示出 和 。

【1997年题14】 已知向量组 α1=(1,2,−1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,−4,5,−2)\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,2,-1,1), \boldsymbol{\alpha}_2 = (2,0,t,0), \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,-4,5,-2)α1​=(1,2,−1,1),α 的秩为 2，则 ______。

解析： 【分析】向量组的秩 = 矩阵的秩。 A=[α1α2α3]=[12−1120t00−45−2]→[12−110−4t+2−20， 所以 。 或，已知 线性无关，而秩为 2。于是 是极大线性无关组，从而 必可由 线性表出。 对 ， ， 方程组有解，故 。

例 15 向量组 (I) α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1​,α2​,α3​; (II) α1,α2,α3,α4; (III) 。若秩 。则 ______。

解析： 【分析】由 r(I)=3r(\text{I}) = 3r(I)=3 知 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1​,α2​,α 线性无关， 由 知 线性相关， 故 可由 线性表出，那么向量组 与 可以互相线性表示，即向量组等价。 所以 。 或设 ，则 ， 由于矩阵 可逆，故 。

例 16 设 α1=(1,1,1,1)T,α2=(1,−1,1,−1)T,α3=(1,1,1,−1)T,α4=(−1,1,−1,1)T,α5=(1,−1,−1,−1)T\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2 = (1,-1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3 = (1,1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4 = (-1,1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_5 = (1,-1,-1,-1)^{\mathrm{T}}α1​，如 线性无关且 线性相关，则 ______。

解析： 【分析】明显地，α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1​,α2​ 线性无关，有 k⩾2k \geqslant 2k⩾2，因 n+1n+1n+ 个 维向量必线性相关，即 一定线性相关，故 。 发现 ，即 一定线性相关，故 。 ， 于是 线性无关， 线性相关，所以 。 【注】本题 不是向量组的极大线性无关组。

例 17 设 A=[111−1334−14−3105−815]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 3 \\ 3 & 4 & -1 & 4 & -3 \\ 1 & 0 & 5 & -8 & 15 \end{bmatrix}A=​，错误的命题是 (A) 矩阵 的秩 . (B) 中三阶子式全为 0. (C) 中任意两个行向量无关. (D) 中任意两个列向量无关.

解析： 【分析】A\boldsymbol{A}A 中存在 ∣1134∣≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \neq 0​13​1，故(A)正确。 中任何两行都不成比例，故(C)正确。 中第 3 列、第 5 列成比例，存在两列向量线性相关，(D)错误。 中有 个三阶子式，一个一个计算不合适，用初等变换化阶梯形为好。 .

例 18 (1) 已知矩阵 A=[112a3235542231410115]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & a & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 5 & 4 \\ 2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}A= 的秩 ，则 ______。 (2) 设 ，且秩 ，则 ______。

解析： 【分析】 (1) 经初等变换，矩阵的秩不变，对矩阵 A\boldsymbol{A}A 作初等变换 A=[112a3235542231410115]→[101152 ， 可见 时，秩 。 (2) 由 可知， 若 ，则 ，故 。

【2003年题19】 设三阶矩阵 A=[abbbabbba]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{bmatrix}A=​abb​，若 的伴随矩阵 的秩为 1，则必有

(A) a=ba=ba=b 或 a+2b=0a+2b=0a+2b=0.   (B) a=ba=ba=b 或 a+2b≠0a+2b \neq 0a+2b. (C) 且 .   (D) 且 .

解析： 【分析】由 r(A∗)={n,若 r(A)=n1,若 r(A)=n−10,若 r(A)<n−1r(\boldsymbol{A}^*) = \begin{cases} n, & \text{若 } r(\boldsymbol{A}) = n \\ 1, & \text{若 } r(\boldsymbol{A}) = n-1 \\ 0, & \text{若 } r(\boldsymbol{A}) < n-1 \end{cases}r(A∗)= 现 . 如 ，排除(A),(B)。 必有 ，此时 中 ，而 ， 故应选(C)。

例 20 已知向量组 (I) α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sα1​,α2​,⋯,αs​ 和 (II) β1. 若 (I) 可由 (II) 线性表示。证明 (1) . (2) 若 ，则 (I) 必线性相关。

解析： 【证】 (1) 因 (I) 可由 (II) 线性表出，设 α1=c11β1+c21β2+⋯+ct1βt,\boldsymbol{\alpha}_1 = c_{11}\boldsymbol{\beta}_1 + c_{21}\boldsymbol{\beta}_2 + \cdots + c_{t1}\boldsymbol{\beta}_t,α1​=c11​β1​+ 即存在矩阵 ，使 那么 即 . (2) 若 ，则 所以 必线性相关。

心得笔记

r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)<n-1 \end{cases}r(A∗)=⎩
  1. 上三角和下三角行列式我经常高反。上三角是下三角为0 ，上三角有值的
  2. 伴随矩阵的秩和矩阵的秩的关系这个事情说是在强化课讲的。。。首先如果n阶矩阵的秩是n，那么行列式不得0，根据伴随的行列式等于行列式的n-1次方，行列式不得0，伴随的行列式不得0，则伴随的秩是n。如果矩阵的秩小于 n-1，则 n-1阶子式全得0，而伴随就是 n-1 阶行列式拼起来的，那伴随矩阵就是个 0 矩阵，秩为0
  3. 矩阵相乘得0，则秩相加小于等于n ，这个事情怎么理解

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    • ,
    ⋯
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    αir​​
    ,
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    αir​​
    ​
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    ⋯
    ,
    αir​​
    ,
    αi​
    ,
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    ,
    αir​​
    i1​
    ​
    ,
    αi2​​
    ,
    ⋯
    ,
    αir​​
    (II)β1,β2,⋯ ,βt(\text{II}) \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t
    (II)β1​,β2​,⋯,βt​

    (I)(\text{I})(I)
    αi(i=1,2,⋯ ,s)\boldsymbol{\alpha}_i (i = 1, 2, \cdots, s)αi​(i=1,2,⋯,s)
    (II)(\text{II})(II)
    (I)(\text{I})(I)
    (II)(\text{II})(II)
    (I)(II)(\text{I})(\text{II})(I)(II)
    (I)(II)(\text{I})(\text{II})(I)(II)
    等价向量组
    (I)≅(II)(\text{I}) \cong (\text{II})(I)≅(II)
    n)
    k2k^2k2
    A\boldsymbol{A}A
    kkk
    A\boldsymbol{A}A
    kkk
    rr
    r
    r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)
    ⇔
    A
    rrr

    r(A)⩾r⇔Ar(\boldsymbol{A}) \geqslant r \Leftrightarrow \boldsymbol{A}r(A)⩾r⇔A
    rrr

    r(A)=0⇔A=Or(\boldsymbol{A}) = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}r(A)=0⇔A=O

    A≠O⇔r(A)⩾1\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A}) \geqslant 1A=O⇔r(A)⩾1
    A

    r(A)<n⇔∣A∣=0⇔Ar(\boldsymbol{A}) < n \Leftrightarrow |\boldsymbol{A}| = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{A}r(A)<n⇔∣A∣=0⇔A
    r(A)

    k≠0k \neq 0k=0
    r(kA)=r(A);r(A+B)⩽r(A)+r(B)r(k\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}); r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \leqslant r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})r(kA)=r(A);r(A+B)⩽r(A)+r(B)

    r(AB)⩽min⁡(r(A),r(B))r(\boldsymbol{AB}) \leqslant \min(r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B}))r(AB)⩽min(r(A),r(B))

    max⁡(r(A),r(B))⩽r(A,B)⩽r(A)+r(B)\max(r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})) \leqslant r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})max(r(A),r(B))⩽r(A,B)⩽r(A)+r(B)

    A\boldsymbol{A}A
    r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)r(\boldsymbol{AB}) = r(\boldsymbol{B}), r(\boldsymbol{BA}) = r(\boldsymbol{B})r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)

    A\boldsymbol{A}A
    m×nm \times nm×n
    B\boldsymbol{B}B
    n×sn \times sn×s
    AB=O\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}AB=O
    r(A)+r(B)⩽nr(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leqslant nr(A)+r(B)⩽n

    r[AOOB]=r(A)+r(B)r \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix} = r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})r[AO​OB​]=r(A)+r(B)
    ​
    α1​α2​⋮αm​​
    ​
    =
    [β1​,β2​,⋯,βn​],
    2​
    ,
    ⋯
    ,
    αm​
    )
    A\boldsymbol{A}A

    =r(β1,β2,⋯ ,βn)= r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n)=r(β1​,β2​,⋯,βn​)
    A\boldsymbol{A}A
    0
    ​
    200​
    −110​
    350​
    ​
    1
    1
    ​
    ​
    =
    0
    A\boldsymbol{A}A
    ∣12−1001000∣,∣123005000∣,∣2−13015000∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}​100​200​−110​
    r(A)=2r(\boldsymbol{A}) = 2r(A)=2
    α1​
    =
    ​100​​,α2​=
    ​200​​,α3​=
    ​−110​​,α4​=
    ​350​​
    α1,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3α1​,α3​
    A\boldsymbol{A}A
    r(α1,α2,α3,α4)=2r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4) = 2r(α1​,α2​,α3​,α4​)=2
    )
    ,
    β2​
    =
    (0,0,1,5),β3​=
    (0,0,0,0)
    β1,β2\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2β1​,β2​
    A\boldsymbol{A}A
    r(β1,β2,β3)=2r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) = 2r(β1​,β2​,β3​)=2
    =
    (1,−1,2,4)T,α2​=
    (0,3,1,2)T,α3​=
    (3,0,7,14)T,α4​=
    (1,−2,2,0)T,α5​=
    (2,−1,5,2)T
    2011010001200000](\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_5) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
    (α1​,α2​,α3​,α4​,α5​)=​1−124​0312​307​1000​0100​310
    (β1,β2,β3,β4,β5)(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4, \boldsymbol{\beta}_5)(β1​,β2​,β3​,β4​,β5​)
    α1,α2,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_4α1​,α2​,α4​
    (3,1,0,0)T=3(1,0,0,0)T+(0,1,0,0)T(3,1,0,0)^{\mathrm{T}} = 3(1,0,0,0)^{\mathrm{T}} + (0,1,0,0)^{\mathrm{T}}(3,1,0,0)T=3(1,0,0,0)T+(0,1,0,0)T
    (2,1,2,0)T=(0,1,0,0)T+2(1,0,1,0)T(2,1,2,0)^{\mathrm{T}} = (0,1,0,0)^{\mathrm{T}} + 2(1,0,1,0)^{\mathrm{T}}(2,1,2,0)T=(0,1,0,0)T+2(1,0,1,0)T
    β3=3β1+β2,β5=β2+2β4\boldsymbol{\beta}_3 = 3\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_5 = \boldsymbol{\beta}_2 + 2\boldsymbol{\beta}_4β3​=3β1​+β2​,β5​=β2​+2β4​
    α3=3α1+α2,α5=α2+2α4\boldsymbol{\alpha}_3 = 3\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_5 = \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_4α3​=3α1​+α2​,α5​=α2​+2α4​
    α1,α2,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_4α1​,α2​,α4​
    α3\boldsymbol{\alpha}_3α3​
    α5\boldsymbol{\alpha}_5α5​
    2
    ​
    =
    (2,0,t,0),α3​=
    (0,−4,5,−2)
    t=t =t=
    03−t0]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\alpha}_2 \\ \boldsymbol{\alpha}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & t & 0 \\ 0 & -4 & 5 & -2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & t+2 & -2 \\ 0 & 0 & 3-t & 0 \end{bmatrix}
    A=​α1​α2​α3​​​=​120​20−4​−1t5​​100​2−40​−1t+23−
    t=3t=3t=3
    α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1​,α2​
    α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1​,α2​
    α3\boldsymbol{\alpha}_3α3​
    α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2α1​,α2​
    x1α1+x2α2=α3x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_3x1​α1​+x2​α2​=α3​
    [12⋮020⋮−4−1t⋮510⋮−2]→[10⋮−201⋮100⋮3−t00⋮0]\begin{bmatrix} 1 & 2 & \vdots & 0 \\ 2 & 0 & \vdots & -4 \\ -1 & t & \vdots & 5 \\ 1 & 0 & \vdots & -2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & \vdots & -2 \\ 0 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 0 & \vdots & 3-t \\ 0 & 0 & \vdots & 0 \end{bmatrix}​12−11​20t0​⋮
    t=3t=3t=3
    \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4
    α1​,α2​,α3​,α4​
    α1,α2,α3,α5\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_5α1​,α2​,α3​,α5​
    r(I)=r(II)=3,r(III)=4r(\text{I}) = r(\text{II}) = 3, r(\text{III}) = 4r(I)=r(II)=3,r(III)=4
    r(α1,α2,α3,α4+α5)=r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_5) =r(α1​,α2​,α3​,α4​+α5​)=
    3​
    r(II)=3r(\text{II}) = 3r(II)=3
    α1,α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4α1​,α2​,α3​,α4​
    α4\boldsymbol{\alpha}_4α4​
    α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1​,α2​,α3​
    α1,α2,α3,α4+α5\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_5α1​,α2​,α3​,α4​+α5​
    α1,α2,α3,α5\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_5α1​,α2​,α3​,α5​
    r(α1,α2,α3,α4+α5)=4r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_5) = 4r(α1​,α2​,α3​,α4​+α5​)=4
    α4=k1α1+k2α2+k3α3\boldsymbol{\alpha}_4 = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3α4​=k1​α1​+k2​α2​+k3​α3​
    (α1,α2,α3,α4+α5)=(α1,α2,α3,k1α1+k2α2+k3α3+α5)(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_5) = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_5)(α1​,α2​,α3​,α4​+α5​)=(α1​,α2​,α3​,k1​α1​k2​α2​+k3​α3​+α5​)
    =(α1,α2,α3,α5)[100k1010k2001k30001]= (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_5) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & k_1 \\ 0 & 1 & 0 & k_2 \\ 0 & 0 & 1 & k_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=(α1​,α2​,α3​,α5​)​1000​0100​0010​
    [100k1010k2001k30001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & k_1 \\ 0 & 1 & 0 & k_2 \\ 0 & 0 & 1 & k_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}​1000​0100​0010​k1​k2​k3​1​​
    r(α1,α2,α3,α4+α5)=r(α1,α2,α3,α5)=4r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\alpha}_5) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_5) = 4r(α1​,α2​,α3​,α4​+α5​)=r(α1​,α2​,α3​,α5​)=4
    =
    (1,1,1,1)T,α2​=
    (1,−1,1,−1)T,α3​=
    (1,1,1,−1)T,α4​=
    (−1,1,−1,1)T,α5​=
    (1,−1,−1,−1)T
    α1,α2,⋯ ,αk\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_kα1​,α2​,⋯,αk​
    α1,α2,⋯ ,αk,αk+1\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_k, \boldsymbol{\alpha}_{k+1}α1​,α2​,⋯,αk​,αk+1​
    k=k =k=
    1
    nnn
    α1,α2,⋯ ,α5\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_5α1​,α2​,⋯,α5​
    k⩽4k \leqslant 4k⩽4
    α4=−α2\boldsymbol{\alpha}_4 = -\boldsymbol{\alpha}_2α4​=−α2​
    α1,α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4α1​,α2​,α3​,α4​
    k⩽3k \leqslant 3k⩽3
    (α1,α2,α3)=[1111−111111−1−1]→[111010001000](\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}(α1​,α2​,α3​)=​
    α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1​,α2​,α3​
    α1,α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4α1​,α2​,α3​,α4​
    k=3k=3k=3
    α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3α1​,α2​,α3​
    131
    ​
    140​
    1−15​
    −14−8​
    3−315​
    ​
    A\boldsymbol{A}A
    ⩾2\geqslant 2⩾2
    A\boldsymbol{A}A
    A\boldsymbol{A}A
    A\boldsymbol{A}A
    4
    ​
    ​
    =
    0
    A\boldsymbol{A}A
    A\boldsymbol{A}A
    A\boldsymbol{A}A
    C53=10C_5^3 = 10C53​=10
    A→[111−1301−47−1200000]\boldsymbol{A} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -4 & 7 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}A→​100​110​1−40​−170​3−120​​
    ​
    1221​1320​2531​a511​3445​
    ​
    r(A)=3r(\boldsymbol{A}) = 3r(A)=3
    a=a =a=
    A=[k1111k1111k1111k]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{bmatrix}A=​k111​1k11​11k1​111k​​
    r(A)=3r(\boldsymbol{A}) = 3r(A)=3
    k=k =k=
    355422314112a3]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & a & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 5 & 4 \\ 2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 5 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 5 & 5 & 4 \\ 2 & 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & a & 3 \end{bmatrix}
    A=​1221​1320​2531​a511​3445​​→​1221​0321​153
    →[101150333−6021−1−6011a−1−2]→[101150111−200132000a−20]\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 3 & 3 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -6 \\ 0 & 1 & 1 & a-1 & -2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & a-2 & 0 \end{bmatrix}→​1000​0321​13
    a=2a=2a=2
    r(A)=3r(\boldsymbol{A}) = 3r(A)=3
    ∣A∣=∣k1111k1111k1111k∣=(k+3)(k−1)3|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{vmatrix} = (k+3)(k-1)^3∣A∣=​k111​1k11​11k1​1​=(k+3)(k−1)3
    k=1k=1k=1
    r(A)=1r(\boldsymbol{A}) = 1r(A)=1
    k=−3k=-3k=−3
    bab​
    bba​
    ​
    A\boldsymbol{A}A
    A∗\boldsymbol{A}^*A∗
    =
    0

    a≠ba \neq ba=b
    a+2b=0a+2b=0a+2b=0
    a≠ba \neq ba=b
    a+2b≠0a+2b \neq 0a+2b=0
    ⎩
    ⎨
    ⎧
    ​
    n,1,0,​若 r(A)=n若 r(A)=n−1若 r(A)<n−1​
    n=3,r(A∗)=1⇔r(A)=2n=3, r(\boldsymbol{A}^*) = 1 \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A}) = 2n=3,r(A∗)=1⇔r(A)=2
    a=b⇒r(A)⩽1a=b \Rightarrow r(\boldsymbol{A}) \leqslant 1a=b⇒r(A)⩽1
    a≠ba \neq ba=b
    A\boldsymbol{A}A
    ∣abba∣≠0\begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} \neq 0​ab​ba​​=0
    ∣A∣=∣abbbabbba∣=(a+2b)(a−b)2=0|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix} = (a+2b)(a-b)^2 = 0∣A∣=​abb​bab​bba​​=(a+2b)(a−b)2=0
    ,β2,⋯ ,βt\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t
    β1​,β2​,⋯,βt​
    r(I)⩽r(II)r(\text{I}) \leqslant r(\text{II})r(I)⩽r(II)
    s>ts > ts>t
    c21​β2​+
    ⋯+
    ct1​βt​,
    ⋯\cdots⋯
    αs=c1sβ1+c2sβ2+⋯+ctsβt,\boldsymbol{\alpha}_s = c_{1s}\boldsymbol{\beta}_1 + c_{2s}\boldsymbol{\beta}_2 + \cdots + c_{ts}\boldsymbol{\beta}_t,αs​=c1s​β1​+c2s​β2​+⋯+cts​βt​,
    C=[cij]\boldsymbol{C} = [c_{ij}]C=[cij​]
    (α1,α2,⋯ ,αs)=(β1,β2,⋯ ,βt)C,(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t)\boldsymbol{C},(α1​,α2​,⋯,αs​)=(β1​,β2​,⋯,βt​)C,
    r(α1,α2,⋯ ,αs)=r[(β1,β2,⋯ ,βt)C]r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) = r[(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t)\boldsymbol{C}]r(α1​,α2​,⋯,αs​)=r[(β1​,β2​,⋯,βt​)C]
    ⩽r(β1,β2,⋯ ,βt),\leqslant r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t),⩽r(β1​,β2​,⋯,βt​),
    r(I)⩽r(II)r(\text{I}) \leqslant r(\text{II})r(I)⩽r(II)
    s>ts > ts>t
    r(I)⩽r(II)=r(β1,β2,⋯ ,βt)⩽t<s,r(\text{I}) \leqslant r(\text{II}) = r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t) \leqslant t < s,r(I)⩽r(II)=r(β1​,β2​,⋯,βt​)⩽t<s,
    α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sα1​,α2​,⋯,αs​
    ⎨
    ⎧
    ​
    n,1,0,​r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1​

    408计算机考研 链表

    更新于2026-10-24

    ​
    ,
    ​100​200​350​​
    ,
    ​200​−110​350​​
    14
    ​
    1−220​
    2−152​
    ​
    →
    0
    ​
    1010​
    2120​
    ​
    10−2​
    ​
    →
    t
    ​
    1−20​
    ​
    ⋮
    ⋮
    ⋮
    ​
    0−45−2​
    ​
    →
    ​1000​0100​⋮⋮⋮⋮​−213−t0​​
    +
    k1​k2​k3​1​
    ​
    1
    1
    1
    1
    ​
    1−11−1​
    111−1​
    ​
    →
    ​1000​1100​1010​​
    2
    ​
    151a​
    5443​
    ​
    1
    1
    ​
    13−1a−1​
    5−6−6−2​
    ​
    →
    ​1000​0100​1110​113a−2​5−220​​
    1
    1
    k
    ​