3.2 线性表出、线性相关

称为向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 的一个线性组合，$k_1,{}_{}$ 称为这个线性组合的系数。

若 $\boldsymbol{\beta}$ 能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 的线性组合，即

则称 $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表出。

定义 对 $m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$，若存在不全为零的数 ，使得

成立，则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关，否则称它们线性无关。

显然含有零向量，或相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的；单个向量时，零向量是线性相关的。

$m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，下面几种表述等价： 对任意不全为零的数 ，均有

当且仅当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$ 时才有

成立。
不存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$，使得

成立。

向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = (1, 0, \cdots, 0), \boldsymbol{\varepsilon}_2 = (0, 1, 0, \cdots, 0), \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_n = (0, 0, \cdots, 0, 1)$ 是线性无关的，单个向量是非零向量时，是线性无关的；两个向量不成比例时，是线性无关的。

定理 3.1 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表出 实数 使 方程组 有解 秩 。

定理 3.2 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m (\boldsymbol{\alpha}_j = (a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{nj})^{\mathrm{T}}, j = 1, 2, \cdots, m)$ 线性相关 以 为列向量的齐次线性方程组

即

有非零解。

推论 1 $n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关 行列式 。

推论 2 任何 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关。

定理 3.3 任何部分组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 相关 $\Rightarrow$ 整体组 相关。整体组 无关 任何部分组 无关，反之都不成立。

$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 及 ${\mathit{\alpha }}_{}$（其中 ），称 是 的部分组， 是整体组。

定理 3.4 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关 $\Rightarrow$ 延伸组 线性无关； 线性相关 缩短组 线性相关，反之均不成立。

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 = [a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{r1}]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2 = [a_{12}, a_{22}, \cdots, a_{r2}]^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m = [a_{1m}, a_{2m}, \cdots, a_{rm}]^{\mathrm{T}}$ 及 ，其中 ，则称 为向量组 的延伸组（或称 是 的缩短组）。

定理 3.5 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s (s \geqslant 2)$ 线性相关 至少有一个向量 可以由其余向量线性表出。

定理 3.6 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，而向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$ 线性相关，则 可由 线性表出，且表出法唯一。

定理 3.7 设有两个向量组 $(\text{I}) \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s; (\text{II}) \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$。 (1) 若 均可由 线性表出，且 ，则 线性相关。 (2) 若 均可由 线性表出，且 线性无关，则 。

相关例题

例 1 设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,2,3), \boldsymbol{\alpha}_2 = (1,3,4), \boldsymbol{\alpha}_3 = (2,-1,1), \boldsymbol{\beta} = (2,5,t)$，问 取何值时， (1) 行向量 不能由 线性表出。 (2) 行向量 能由 线性表出，并写出此表达式。

解析： 【解】设 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\beta}$，按分量写出有 即 作初等行变换得 ， (1) 当 时，方程组无解，即行向量 不能由 线性表出。 (2) 当 时，方程组有解 ， 令 得 ，则 为任意常数。

例 2 设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1+\lambda, 1, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 1+\lambda, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3 = (1, 1, 1+\lambda)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta} = (0, \lambda, \lambda^2)^{\mathrm{T}}$。问当 取什么值时： (1) 可由 线性表示，并写出该表示式。 (2) 不能由 线性表示。

解析： 【解】设 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\beta}$，按分量写出，得方程组 由 ， (1) 若 ，则同解方程组为 。 令 得 。 故 是任意常数。 若 ， 。 且 ，解出 ， 故 。 (2) 若 ，方程组无解， 不能由 线性表出。 【注】例 1 的 是行向量，例 2 的 是列向量。但对于 ，当把向量的坐标代入按分量写出等式时，向量 的第 1 个坐标构成第 1 个方程，向量 的第 2 个坐标构成第 2 个方程，……。因此，线性表示的问题转化为解方程组的时候，不论是行向量还是列向量，只要把 的坐标“竖”着写即可组成所需要的增广矩阵。

例 3 已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2$ 都是 维向量，试证：如果 可由 线性表出， 可由 线性表出，则 可由 线性表出。

解析： 【证】据已知条件，可设 $\boldsymbol{\alpha} = k_1\boldsymbol{\beta}_1 + k_2\boldsymbol{\beta}_2 + k_3\boldsymbol{\beta}_3,$ 那么 即 可由 线性表出。

例 4 判断向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,2,-1,4), \boldsymbol{\alpha}_2 = (0,-1,-5,3), \boldsymbol{\alpha}_3 = (2,5,3,5)$ 的线性相关性。

解析： 【解】设 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}$，按分量写出，有 ， 即有 对系数矩阵作初等变换有 ， 由 ，齐次方程组 必有非零解，故 线性相关。

例 5 判断向量组的线性相关性 (1) $\boldsymbol{\alpha}_1 = (3,4,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2 = (2,1,-7)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3 = (1,2,4)^{\mathrm{T}}$. (2) .

解析： 【解】已知向量的坐标，判断向量组的线性相关就是转化为考查齐次方程组有非零解。 (1) 设 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}$。按分量写出，即 由于系数行列式 齐次方程组必有非零解，所以 线性相关。 (2) 设 ，按分量写出，有 由 ，齐次方程组必有非零解，故 必线性相关。 【注】由例 4 和例 5 可以看到，线性相关时的计算题和线性表出是类似的，不论 是行向量还是列向量，只要把向量的坐标“竖”着写即可组成所需要的齐次方程组的系数矩阵。

例 6 判断向量组的线性相关性 (1) $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,3,-2), \boldsymbol{\alpha}_2 = (0,2,5), \boldsymbol{\alpha}_3 = (2,6,-4)$. (2) . (3) . (4) .

解析： 【分析】 (1) $\boldsymbol{\alpha}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1$，相关。 (2) $\boldsymbol{\alpha}_2 = \mathbf{0}$，相关。 (3) 因 无关，故 无关。 (4) ，故 无关。

例 7 (1) 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,3,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2 = (-1,1,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,a,3)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，求 . (2) 判断向量组 的线性相关性。

解析： 【解】 (1) $n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关 所以 时，向量组 线性相关。 (2) 设 ，按分量写出，即 对系数矩阵作初等行变换有 可见 时，秩 ，齐次方程组 有非零解。 从而 线性相关。 当 时，秩 ，齐次方程组 只有零解，那么 线性无关。

例 8 设 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n), \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n), \boldsymbol{AB} = (\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_n)$ 均是 阶矩阵，记向量组 (I) , (II) , (III) , 若 (III) 线性相关，则 (A) (I)(II) 均线性相关。 (B) (I) 或 (II) 至少有一个线性相关。 (C) (I) 必线性相关。 (D) (II) 必线性相关。

解析： 【分析】(III) 线性相关 $\Leftrightarrow |\boldsymbol{AB}| = 0$ $\Leftrightarrow |\boldsymbol{A}| = 0$ 或 $|\boldsymbol{B}| = 0,$ 所以应选(B)。