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初等变换、初等矩阵

初等变换、初等矩阵

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更新于 2026-10-22
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1. 初等变换与初等矩阵的概念

定义（初等变换） 设 A\boldsymbol{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵。 (1) 用某个非零常数 k(k≠0)k(k \neq 0)k(k=0) 乘 A\boldsymbol{A}A 的某行（列）的每个元素， (2) 互换 的某两行（列）的位置， (3) 将 的某行（列）元素的 倍加到另一行（列）， 称为矩阵的 3 种初等行（列）变换，且分别称为初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称初等变换。

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文章大纲

  • 1. 初等变换与初等矩阵的概念
  • 2. 初等矩阵与初等变换的性质
  • 3. 行阶梯矩阵，行最简矩阵
  • 相关例题
选项
文章 ID: 662

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A\boldsymbol{A}A
A\boldsymbol{A}A
kkk

定义（初等矩阵） 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们分别是（以三阶为例） (1) 倍乘初等矩阵，记 E(i(k))\boldsymbol{E}(i(k))E(i(k))。

E(2(k))=[1000k0001],\boldsymbol{E}(2(k)) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},E(2(k))=​1

E(2(k))\boldsymbol{E}(2(k))E(2(k)) 表示由单位阵 E\boldsymbol{E}E 的第二行（或第二列）乘 k(k≠0)k(k \neq 0)k(k=0) 得到的矩阵。 (2) 互换初等矩阵，记 E(i,j)\boldsymbol{E}(i, j)。

E(1,2)=[010100001],\boldsymbol{E}(1, 2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},E(1,2)=​0

E(1,2)\boldsymbol{E}(1, 2)E(1,2) 表示由单位阵 E\boldsymbol{E}E 的第一，二行（或第一，二列）互换得到的矩阵。 (3) 倍加初等矩阵，记 E(ij(k))\boldsymbol{E}(ij(k))E(ij(k))。

E(13(k))=[100010k01],\boldsymbol{E}(13(k)) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{bmatrix},E(13(k))=​1

E(13(k))\boldsymbol{E}(13(k))E(13(k)) 表示由单位阵 E\boldsymbol{E}E 的第一行的 kkk 倍加到第三行得到的矩阵。当看成列变换时，应是 E\boldsymbol{E}E 的第三列的 kkk 倍加到第一列得到的矩阵。

定义（等价矩阵） 矩阵 A\boldsymbol{A}A 经过有限次初等变换变成矩阵 B\boldsymbol{B}B，则称 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 等价，记成 A≅B\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}A≅B。若 A≅[，则后者称为 的等价标准形（ 的等价标准形是与 等价的所有矩阵中的最简矩阵）。

2. 初等矩阵与初等变换的性质

(1) 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。 (2) 初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵。 E(i,j)−1=E(i,j);E(i(k))−1=E(i(1k));\boldsymbol{E}(i, j)^{-1} = \boldsymbol{E}(i, j); \boldsymbol{E}(i(k))^{-1} = \boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right);E(i,j)−1=E(i,j);E(i 。 (3) 用初等矩阵 左乘（右乘），其结果 ，相当于对 作相应的初等行（列）变换。

定理 2.4 矩阵 A\boldsymbol{A}A 可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积。

3. 行阶梯矩阵，行最简矩阵

行阶梯矩阵 (1) 如果矩阵中有零行（即这一行元素全是 0），则零行在矩阵的底部。 (2) 每个非零行的主元（即该行最左边的第 1 个非零元），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大。

例如 [213000005],[13−2014025]\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}​ 都不是行阶梯矩阵。

例如 [120301−150006],[301−400270000]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 是行阶梯矩阵。

行最简矩阵 一个行阶梯矩阵，如果还满足非零行的主元都是 1，且主元所在的列的其他元素都是 0，则称其为行最简矩阵。

例如 [103101100001],[112001300001],[1−10002 都不是行最简矩阵。

例如 [10−1001200001],[100200130000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 是行最简矩阵。

如 A→行⋯→B\boldsymbol{A} \xrightarrow{\text{行}} \cdots \to \boldsymbol{B}A行​⋯→B，即 Pt⋯P2P1A=B\boldsymbol{P}_t \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}。记 有 。 由 和 表明当 经行变换得到 时， 在同样的行变换下得到 ，即 。

相关例题

【例14 1995年真题】 设 A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}A=​a，，，则必有 (A) 。   (B) 。 (C) 。   (D) 。

解析： 【分析】由下标观察到矩阵 A\boldsymbol{A}A 经过两次初等行变换可得到矩阵 B\boldsymbol{B}B，按初等矩阵的性质应该是左乘初等矩阵，排除(A)(B)。
P1P2A\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{A}P1​P2​A 表示先把 A 的第一行加至第三行，然后再把第一、二两行互换，这正是矩阵 ，所以应当选(C)。 而 表示先把 的第一、二两行互换，然后再把第一行加至第三行，那么这时的矩阵是 。

【例15】 已知 A\boldsymbol{A}A 是三阶矩阵，将矩阵 A\boldsymbol{A}A 的第 1,3 两行互换得到 B\boldsymbol{B}B，再将 B\boldsymbol{B}B 的第 2 列的 −1-1−1 倍加到第 3 列，得到 C=[781，则 ______。

解析： 【分析】由已知
P1A=B,P1=[001010100]\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}, \boldsymbol{P}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}P1​A=B,P， ， ， 。

【例15】 已知矩阵 A=[a111a111a]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix}A=​a11​ 和矩阵 等价，则 ______。

解析： 【分析】A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 等价 ⇔A\Leftrightarrow \boldsymbol{A}⇔A 经初等变换得到矩阵 B\boldsymbol{B}B
⇔∃\Leftrightarrow \exists⇔∃ 可逆矩阵 P\boldsymbol{P} 和 使 。 明显 ，而 ， 当 时，。 当 时， 中 ，而 ，从而 。 和 等价 。

0
0
​
0k0​
001​
​
,
E
(
i
,
j
)
1
0
​
100​
001​
​
,
0
k
​
010​
001​
​
,
ErOOO]\boldsymbol{A} \cong \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
A≅[Er​O​OO​]
A\boldsymbol{A}A
A\boldsymbol{A}A
A\boldsymbol{A}A
(
k
)
)−1
=
E(i(k1​));
E(ij(k))−1=E(ij(−k))\boldsymbol{E}(ij(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(ij(-k))E(ij(k))−1=E(ij(−k))
P\boldsymbol{P}P
A\boldsymbol{A}A
PA(AP)\boldsymbol{PA}(\boldsymbol{AP})PA(AP)
A\boldsymbol{A}A
2
0
0
​
100​
305​
​
,
​100​312​−245​​
​
100​210​0−10​356​
​
,
​300​000​120​−470​​
100001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
​100​010​310​101​​,​100​110​230​,​100​−120​010​
​
100​010​−120​001​
​
,
​100​000​010​230​​
Pt​⋯P2​P1​A=B
P=Pt⋯P2P1\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}_t \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1P=Pt​⋯P2​P1​
PA=B\boldsymbol{PA} = \boldsymbol{B}PA=B

Pt⋯P2P1A=B\boldsymbol{P}_t \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}Pt​⋯P2​P1​A=B
Pt⋯P2P1E=P\boldsymbol{P}_t \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P}Pt​⋯P2​P1​E=P
A\boldsymbol{A}A
B\boldsymbol{B}B
E\boldsymbol{E}E
P\boldsymbol{P}P
(A∣E)→(B∣P)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}) \to (\boldsymbol{B} \mid \boldsymbol{P})(A∣E)→(B∣P)
11​
a21​
a31​
​
a12​a22​a32​​
a13​a23​a33​​
​
B=[a21a22a23a11a12a13a31+a11a32+a12a33+a13]\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \end{bmatrix}B=​a21​a11​a31​+a11​​a22​a12​a32​+a12​​a23​a13​a33​+a13​​​
P1=[010100001],P2=[100010101]\boldsymbol{P}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \boldsymbol{P}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}P1​=​010​100​001​​101​010​001​

AP1P2=B\boldsymbol{AP}_1\boldsymbol{P}_2 = \boldsymbol{B}AP1​P2​=B
AP2P1=B\boldsymbol{AP}_2\boldsymbol{P}_1 = \boldsymbol{B}AP2​P1​=B

P1P2A=B\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}P1​P2​A=B
P2P1A=B\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}P2​P1​A=B
\boldsymbol{A}
A
B\boldsymbol{B}B

P2P1A\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{A}P2​P1​A
A\boldsymbol{A}A
[a21a22a23a11a12a13a31+a21a32+a22a33+a23]\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{21} & a_{32} + a_{22} & a_{33} + a_{23} \end{bmatrix}​a21​a11​a31​+a21​​a22​a12​a32​+a22​​a23​a13​a33​+a23​​​
451121]\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}
C=​741​852​111​​
A=\boldsymbol{A} =A=
1
​
=
​001​010​100​​

BP2=C,P2=[10001−1001]\boldsymbol{BP}_2 = \boldsymbol{C}, \boldsymbol{P}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}BP2​=C,P2​=​100​010​0−11​

P1AP2=C\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{AP}_2 = \boldsymbol{C}P1​AP2​=C

A=P1−1CP2−1=[001010100][781451121][100011001]=[123456789]\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_1^{-1}\boldsymbol{CP}_2^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & 8 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}A=P1−1​CP2−1​=​
1a1​
11a​
​
B=[12−123536−3]\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 6 & -3 \end{bmatrix}B=​123​236​−15−3​​
a=a =a=
P
Q\boldsymbol{Q}Q
PAQ=B\boldsymbol{PAQ} = \boldsymbol{B}PAQ=B

⇔r(A)=r(B)\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B})⇔r(A)=r(B)

r(B)=2r(\boldsymbol{B}) = 2r(B)=2

∣A∣=∣a111a111a∣=(a+2)(a−1)2|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2∣A∣=​a11​1a1​11a​​=(a+2)(a−1)2

a=1a=1a=1
r(A)=1r(\boldsymbol{A}) = 1r(A)=1

a=−2a=-2a=−2
A\boldsymbol{A}A
∣−211−2∣≠0\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \neq 0​−21​1−2​​=0
∣A∣=0|\boldsymbol{A}| = 0∣A∣=0
r(A)=2r(\boldsymbol{A}) = 2r(A)=2

∴A\therefore \boldsymbol{A}∴A
B\boldsymbol{B}B
⇔a=−2\Leftrightarrow a = -2⇔a=−2
0
0
1
​
​
0
0
1
​
​
​
,
P2​
=
​
​
001​
010​
100​
​
​741​852​111​​
​100​010​011​​
=
​147​258​369​​