1.4 极限的性质

（函数） 若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 某去心邻域有界（即局部有界）。 【注】反之不成立，反例为 ，该函数在 的去心邻域有界，但它在 处的极限 不存在。

2. 保号性

（数列） 设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$：

1. 如果 $A > 0$（或 $A < 0$），则存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时，$x_n > 0$（或 ）。

【注】注意结论 (1) 中是严格不等号（$>$ 或 $<$），(2) 中是非严格不等号（$\geqslant$ 或 $\leqslant$）。

（函数） 设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$：

1. 如果 $A > 0$（或 $A < 0$），则存在 $\delta > 0$，当 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$ 时，（或 ）。

3. 极限值与无穷小之间的关系

其中 $\lim \alpha(x) = 0$。

相关例题

【例 5】 （1995，数三）设 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{(x-a)^2} = -1$，则在点 处 (A) 的导数存在，且 。 (B) 取得极大值。 (C) 取得极小值。 (D) 的导数不存在。

解 【方法 1】 直接法  因为 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{(x-a)^2} = -1 < 0$，由极限保号性知，存在 ，当 时，

又因为当 $x \in \mathring{U}(a, \delta)$ 时，$(x-a)^2 > 0$，故 $$，即

由极值的定义得，在点 $x=a$ 处 $f(x)$ 取得极大值。

【方法 2】 排除法  令 $f(x) = -(x-a)^2$，显然 $f(x)$ 满足题设条件，但在 $x=a$ 处 $$ 可导且 ，取极大值，则选项 (A)(C)(D) 都不正确，故应选 (B)。

心得笔记

1. 极限的保号性，可以用来在去心邻域内去掉极限符号，从而判断函数的极值。
2. 其实保号性还有很多用处，后续看到再补充总结