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8.6 隐函数微分法

8.6 隐函数微分法

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更新于 2026-10-07
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(1) 由方程 F(x,y)=0F(x,y) = 0F(x,y)=0 确定的隐函数 y=y(x)y = y(x)y=y(x)。
若函数 F(x,y)F(x,y)F(x,y) 在点 P( 的某一邻域内有连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数 ，并有

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x0,y0)P(x_0, y_0)
P(x0​,y0​)
F(x0,y0)=0,Fy′(x0,y0)≠0F(x_0, y_0) = 0, F'_y(x_0, y_0) \neq 0F(x0​,y0​)=0,Fy
F(x,y)=0F(x,y) = 0F(x,y)=0
(x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)
y=y(x)y = y(x)y=y(x)
y′=−Fx′Fy′.y' = -\frac{F'_x}{F'_y}.y′=−Fy′​F

(2) 由方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0F(x,y,z)=0 确定的隐函数 z=z(x,y)z = z(x,y)z=z(x,y)。
若函数 F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y 在点 的某一邻域内有连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数 ，并有

∂z∂x=−Fx′Fz′,∂z∂y=−Fy′Fz′.\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}.∂x∂z​=−F

(3) 由方程组 {F1(x,y,u,v)=0,F2(x,y,u,v)=0\begin{cases} F_1(x,y,u,v) = 0, \\ F_2(x,y,u,v) = 0 \end{cases}{F1​(x,y,u,v)=0, 确定的隐函数 （仅数学一要求）。 欲求 ，可以将每个方程分别对 求偏导数，得出以 为变量的方程组，可解得 。同样，可以将每个方程分别对 求偏导数，得出以 为变量的方程组，可解得 。

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    • ′
    ​
    (
    x0​
    ,
    y0​
    )
    =
    0
    x
    ′
    ​
    ​
    .
    ,
    z
    )
    P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0)P(x0​,y0​,z0​)
    F(x0,y0,z0)=0,Fz′(x0,y0,z0)≠0F(x_0, y_0, z_0) = 0, F'_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0F(x0​,y0​,z0​)=0,Fz′​(x0​,y0​,z0​)0
    F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0F(x,y,z)=0
    (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0​,y0​,z0​)
    z=z(x,y)z = z(x,y)z=z(x,y)
    z
    ′
    ​
    Fx′​
    ​
    ,
    ∂y∂z​
    =
    −Fz′​Fy′​​.
    F
    2​
    (
    x
    ,
    y
    ,
    u
    ,
    v
    )
    =
    0
    ​
    u=u(x,y),v=v(x,y)u = u(x,y), v = v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)

    ∂u∂x,∂u∂y,∂v∂x,∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}∂x∂u​,∂y∂u​,∂x∂v​,∂y∂v​
    xxx
    ∂u∂x,∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}∂x∂u​,∂x∂v​
    ∂u∂x,∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}∂x∂u​,∂x∂v​
    yyy
    ∂u∂y,∂v∂y\frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial y}∂y∂u​,∂y∂v​
    ∂u∂y,∂v∂y\frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial y}∂y∂u​,∂y∂v​

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    
    =