1.14 间断点及其分类

间断点的分类

1. 左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点。
   1. 左、右极限都存在且相等的间断点称为可去间断点，例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$， 是可去间断点。

【例 4】（2008，数二）设函数 $f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x$，则 $f(x)$ 有 (A) 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点. (B) 1 个可去间断点，1 个无穷间断点. (C) 2 个跳跃间断点. (D) 2 个无穷间断点.

解：由于

则 $x=0$ 为可去间断点.

由于

则 $x=1$ 为跳跃间断点.

故应选(A).

【例 5】（2020，数三）函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}}\ln|1+x|}{(e^x-1)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为 (A) 1. (B) 2. (C) 3.

解 函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}}\ln|1+x|}{(e^x-1)(x-2)}$ 在 处无定义，只需考查函数 在这 4 个点处的间断点类型即可，由于 所以， 为函数 的第二类间断点，故选(C).

【例 7】（2024，数二）函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是
(A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.

解 $f(x)$ 有 3 个间断点，$x=0,x=1,x=2$. 由于
${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}=\mathrm{\infty },$ 故 为第二类间断点. 由于 故 为第一类间断点. 由于 故 为第二类间断点，应选(C).

【例 8】 函数 $f(x)=\frac{(x^2+x)(\ln|x|)\sin\frac{1}{x}}{x^2-1}$ 的可去间断点的个数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

解 $f(x)$ 有 3 个间断点，$x=0,x=\pm 1$. 在 $x=0$ 处，
${\lim }_{x\to 0}f(x)=-{\lim }_{x\to 0}x\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sin$ 则 为可去间断点. 在 处， 则 为可去间断点. 在 处， 则 为可去间断点. 选(D).

心得笔记

考研数学间断点相关的题目，常常连找未定义点都找不全，整个分式的分母不为零自然是，另外还要考虑寄生的分式，例如指数上也会出现分式，则其分母也不能为0，还有 ln|1+x|这种，对数的真数要大于0，之所以要加绝对值符号，就是使得只有一个点使得定义域取到0，而左右两边都有定义，那这个点就是个间断点。还有 arctan x分之一这种，在0处左右极限对不上的，这是第一类间断点中的跳跃间断点，跟 x分之一就不同了，后者是第二类间断点（极限不都存在）