一、复合函数微分法
定理 设函数 u=u(x,y),v=v(x,y) 在点 (x,y) 处有对 及对 的偏导数，函数 在对应点 处有连续偏导数，则复合函数 在点 处的两个偏导数存在，且有
x
z=f(u,v) z=f[u(x,y),v(x,y)] ∂x∂z 全微分形式的不变性（仅数学一要求） 设函数 z=f(u,v),u=u(x,y) 及 v=v(x,y) 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 的全微分
dz=∂x∂zdx+ 即：不论把函数 z 看做自变量 x,y 的函数，还是看作中间变量 u,v 的函数，函数 z 的全微分形式都是一样的。
二、隐函数微分法
(1) 由方程 F(x,y)=0 确定的隐函数 y=y(x)。
若函数 F(x,y) 在点 的某一邻域内有连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数 ，并有
y′=−Fy′F (2) 由方程 F(x,y,z)=0 确定的隐函数 z=z(x,y)。
若函数 F(x,y 在点 的某一邻域内有连续偏导数，且 ，则方程 在点 的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数 ，并有
∂x∂z=−F (3) 由方程组 {F1(x,y,u,v)=0, 确定的隐函数 （仅数学一要求）。
欲求 ，可以将每个方程分别对 求偏导数，得出以 为变量的方程组，可解得 。同样，可以将每个方程分别对 求偏导数，得出以 为变量的方程组，可解得 。
【例 1】（2011, 数一）设函数 F(x,y)=∫0xy1+t，则 ________。
∂x∂F=1+x2y ∂x2∂2F 故 ∂x2∂2F。
【方法 2】 ∂x∂F=1+。
【例 2】（2011, 数三）设函数 z=(1+yx)y，则 ________。
解 由 z=eyxln(1+y，可得
∂x∂z ∂y
【例 3】（2007, 数一）设 f(u,v) 为二元可微函数，z=f(xy,yx)，则 ________。
∂x∂z=yxy−1f
【例 4】（2024, 数一）设函数 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，且 df∣(1,1)=3du+4dv，令 ，则 ________。
解 由 df∣(1,1)=3du+4dv 可知 。
又 ，则
dxdy=fu′ dx2 dx2d2y
【例 5】（2019, 数三）设函数 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，函数 g(x,y)=xy−f(x+y,x−，求 。
解 ∂x∂g=y−(f，
∂x2∂ ∂x∂y∂2g ∂y∂g=x−(f，
∂y2∂ 则 ∂x2∂2g。
【例 6】（2009, 数二）设 z=f(x+y,x−y,xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 dz 与 。
解 由于 ∂x∂z=f，所以
dz=∂x∂z
【例 7】（2011, 数一、二）设函数 z=f(xy,yg(x))，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x=1 处取得极值 。求 。
解【方法 1】 由 z=f(xy,yg(x)) 知
∂x∂z=yf1′+ ∂x∂y∂ 由题意 g(1)=1,g′(1)=0，在上式中令 x=1,y=1 得
∂x∂y∂ 【方法 2】 由 z=f(xy,yg(x)) 知
∂x∂z=yf1′+ 由题意得 g(1)=1,g′(1)=0，在上式中令 x=1 得
zx′(1,y)=yf1′(y, zxy′′(1,y)=f ∂x∂y∂
【例 8】（2014, 数一、二）设函数 f(u) 具有二阶连续导数，z=f(excosy) 满足 。若 ，求 的表达式。
解 令 excosy=u，则 ∂x。
∂x2∂2z= ∂y2∂2z= 将以上两个式子代入 ∂x2∂2z+ 得
f′′(u)=4f(u)+u, 即 f′′(u)−4f(u)=u。此方程对应的齐次方程的特征方程为 r2−4=，特征根为 ，齐次方程的通解为
f(u)=C1e2u+C2e 设非齐次方程的特解为 f∗=au+b，代入非齐次方程得 a=−41。则原方程的通解为 。
由 f(0)=0,f′(0)=0 得 C1，则
f(u)=161(e2u−e
【例 9】（2015, 数二、三）若函数 z=z(x,y) 由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定，则 ________。
解【方法 1】 将 x=0,y=0 代入 ex+2y+3z+xyz=1 中得 ，则 。
方程 两端微分得
ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzd 将 x=0,y=0,z=0 代入上式得
dx+2dy+3dz=0, 则 dz∣(0,0)=−31(dx+。
【方法 2】 将 x=0,y=0 代入 ex+2y+3z+xyz=1 中得 ，则 。
dz∣(0,0)=zx′( 在 ex+2y+3z+xyz=1 中令 y=0 得 e，两边对 求导得
ex+3z(1+3zx′)=0, zx′(0,0)=−31. 在 ex+2y+3z+xyz=1 中令 x=0 得 e，两边对 求导得
e2y+3z(2+3zy′)=0, zy′(0,0)=−32. 则 dz∣(0,0)=−31(dx+。
【例 10】（2024, 数三）设函数 z=z(x,y) 由方程 x+ey−yln(1+ 确定，求 。
解 由 x+ey−yln(1+z2)=0 可知 ，且
∂x∂z+ey 等式 ∂x∂z+ey− 中令 得
∂x∂z+ey=0, 上式两端对 x 求导得 ∂x2∂。
等式 x+ey−yln(1+z2)=0 两端对 y 求偏导得
∂y∂z−ln(1+ ∂y2∂ 由此可得 ∂y2∂2z。
故 。
【例 11】（2010, 数一、二）设函数 z=z(x,y) 由方程 F(xy, 确定，其中 为可微函数，且 ，则
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
解 ∂x∂z=，
x∂x∂z+y
【例 12】（2001, 数三）设 u=f(x,y,z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x) 及 z=z(x) 分别由下列两式确定：
exy−xy=2和ex=∫ 求 dxdu。
dxdu=∂x 由 exy−xy=2 两边对 x 求导，得
exy(y+xdxdy)− 即 dxdy=−xy。
又由 ex=∫0x−ztsin 两边对 求导，得 ，即
dxdz=1−sin(x−z) dxdu=∂ du=∂x∂fdx+ 等式 exy−xy=2 两端微分得
exy(ydx+xdy)−(ydx+xdy)=0, dy=−xydx. 等式 ex=∫0x−ztsin 两端微分得 ，即
dz=[1−sin(x−z)ex(x−z du={∂x∂f− dxdu=∂
【例 13】（2008, 数三）设 z=z(x,y) 是由方程 x2+y2−z 所确定的函数，其中 具有二阶导数，且 。
(1) 求 。
(2) 记 ，求 。
解 (1)【方法 1】 设 F(x,y,z)=x2+y2−z−，则
Fx′=2x−φ′,F 由公式 ∂x∂z=−F，得
∂x∂z=1+φ dz=∂x∂zdx+ 【方法 2】 对等式 x2+y2−z=φ(x+y+z) 两端求微分，得
2xdx+2ydy−dz=φ′⋅(dx+ dz=1+φ′2x−φ (2) 由 (1) 知 u(x,y)=1+φ′2，所以
∂x∂u= 8.1~8.4多元函数的基本概念
更新于2026-09-28
=
∂u∂z∂x∂u+
∂v∂z∂x∂v,∂y∂z=
∂u∂z∂y∂u+
∂v∂z∂y∂v.
z=f[u(x,y),v(x,y)]
∂y∂z
d
y
=
∂u∂zdu+
∂v∂zdv,
P(x0,y0)
F(x0,y0)=0,Fy′(x0,y0)=0 F(x,y)=0 (x0,y0)
x
′
.
,
z
)
P(x0,y0,z0) F(x0,y0,z0)=0,Fz′(x0,y0,z0)0 F(x,y,z)=0 (x0,y0,z0) z=z(x,y)
z
′
Fx′
,
∂y∂z
=
−Fz′Fy′.
F
2
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
u=u(x,y),v=v(x,y)
∂x∂u,∂y∂u,∂x∂v,∂y∂v ∂x∂u,∂x∂v ∂x∂u,∂x∂v ∂y∂u,∂y∂v ∂y∂u,∂y∂v 2
sint
d
t
∂x2∂2Fx=0y=2=
2
ysinxy
,
=
(1+x2y2)2y2cosxy(1+x2y2)−2xy3sinxy,
x=0y=2
=
4
x
2
y2
ysinxy
,
Fx′
(
x
,
2
)
=
1+4x22sin2x
x=0y=2
=
Fxx′′(0,2)=
x→0limx−0Fx′(x,2)−Fx′(0,2)=
x→0limx(1+4x2)2sin2x=
x→0limx(1+4x2)4x=
4.
x
dz∣(1,1)=
x
)
=
eyxln(1+yx)[y1ln(1+yx)+y2x⋅1+yx1]=
(1+yx)yx[y1ln(1+yx)+y(x+y)x],
∂
z
=
eyxln(1+yx)[−y2xln(1+yx)−yx⋅1+yx1⋅y2x]=
−(1+yx)yxy2x[ln(1+yx)+x+yx].
dz∣(1,1)=∂x∂z(1,1)dx+∂y∂z(1,1)dy=(2ln2+1)dx+(−2ln2−1)dy=(1+2ln2)(dx−dy). ∂x∂z=
1
′
+
yxlny⋅
f2′.
y=f(cosx,1+x2)
dx2d2yx=0=
fu′
(
1
,
1
)
=
3,fv′(1,1)=
4
y=f(cosx,1+x2)
(
u
,
v
)
(
−
sin
x
)
+
fv′(u,v)⋅
2x,
d2y
=
[dxdfu′(u,v)](−sinx)−
fu′(u,v)cosx+
[dxdfv′(u,v)]⋅
2x+
fv′(u,v)⋅
2,
x=0
=
−fu′(1,1)cos0+
fv′(1,1)⋅
2=
5.
y
)
∂x2∂2g+∂x∂y∂2g+∂y2∂2g 1
′
+
f2′)=
y−
f1′−
f2′
2
g
=
−(f11′′+
f12′′)−
(f21′′+
f22′′)=
−(f11′′+
2f12′′+
f22′′),
=
1−
(f11′′−
f12′′)−
(f21′′−
f22′′)=
1−
f11′′+
f22′′,
1
′
−
f2′)=
x−
f1′+
f2′
2
g
=
−(f11′′−
f12′′)+
(f21′′−
f22′′)=
−f11′′+
2f12′′−
f22′′,
+
∂x∂y∂2g+
∂y2∂2g=
1−
3f11′′−
f22′′
∂x∂y∂2z
1
′
+
f2′+
yf3′,∂y∂z=
f1′−
f2′+
xf3′
d
x
+
∂y∂zdy=
(f1′+
f2′+
yf3′)dx+
(f1′−
f2′+
xf3′)dy,
∂x∂y∂2z=f11′′−f12′′+xf13′′+f21′′−f22′′+xf23′′+f3′+y(f31′′−f32′′+xf33′′)=f11′′+(x+y)f13′′−f22′′
∂x∂y∂2zx=1y=1 yg′(x)f2′.
2
z
=
f1′+
y[xf11′′+
g(x)f12′′]+
g′(x)f2′+
yg′(x)[xf21′′+
g(x)f22′′].
2
z
x=1y=1
=
f1′(1,1)+
f11′′(1,1)+
f12′′(1,1).
yg′(x)f2′.
y
)
.
1′
(
y
,
y
)
+
y[f11′′(y,y)+
f12′′(y,y)].
2
z
x=1y=1
=
f1′(1,1)+
f11′′(1,1)+
f12′′(1,1).
∂x2∂2z+∂y2∂2z=(4z+excosy)e2x
f(0)=0,f′(0)=0
∂z
=
f′(u)excosy,∂y∂z=
−f′(u)exsiny
f′′
(
u
)
e2x
cos2
y
+
f′(u)excosy,
f′′(u)e2xsin2y−
f′(u)excosy.
∂y2∂2z
=
(4z+
excosy)e2x
0
−2u
.
,
b
=
0
f(u)=C1e2u+C2e−2u−41u
=
161,C2=
−161
−2u
−
4u).
dz∣(0,0)=
e3z=1
ex+2y+3z+xyz=1 x
+
xzdy+
xydz=
0.
2
d
y
)
e3z=1
0
,
0
)
d
x
+
zy′(0,0)dy.
x+3z
=
1
2y+3z
=
1
2
d
y
)
z
2
)
=
0
(∂x2∂2z+∂y2∂2z)(0,0) z(0,0)=
−1
−
1+z22yz∂x∂z=
−1.
1+z2
2yz
∂x∂z
=
0
2
z
+
ey=
−1
z2
)
−
1+z22yz∂y∂z=
ln2.
2
z
−
1+z22z∂y∂z−
1+z22z∂y∂z−
y∂y∂(1+z22z∂y∂z)=
0,
(0,0)
=
−2ln2
(∂x2∂2z+∂y2∂2z)(0,0)=−1−2ln2 xz
)
=
0
x∂x∂z+y∂y∂z=
−
x1F2′−x2yF1′−x2zF2′
,
∂y∂z
=
−x1F2′x1F1′
∂y∂z
=
−x1F2′−xyF1′−xzF2′−
x1F2′xyF1′=
z.
0
x−z
tsint
d
t
.
∂f
+
∂y∂fdxdy+
∂z∂fdxdz.
(①)
(y+xdxdy)=
0,
t
d
t
ex=x−zsin(x−z)⋅(1−dxdz)
ex(x−z)
.
x
∂f
−
xy∂y∂f+
[1−sin(x−z)ex(x−z)]∂z∂f.
∂y
∂f
d
y
+
∂z∂fdz.
(②)
t
d
t
exdx=x−zsin(x−z)(dx−dz) )
]
d
x
.
xy
∂y∂f
+
[1−sin(x−z)ex(x−z)]
∂z∂f
}
d
x
,
x
∂f
−
xy∂y∂f+
[1−sin(x−z)ex(x−z)]∂z∂f.
=
φ(x+
y+
z)
φ′=−1 u(x,y)=x−y1(∂x∂z−∂y∂z) ∂x∂u φ
(
x
+
y+
z)
y′
=
2y−
φ′,Fz′=
−1−
φ′.
z′
Fx′
,
∂y∂z
=
−Fz′Fy′
′
2x−φ′
,
∂y∂z
=
1+φ′2y−φ′.
∂y∂zdy=
1+φ′(2x−φ′)dx+(2y−φ′)dy.
d
y
+
dz),
′
d
x
+
1+φ′2y−φ′dy.
(1+φ′)2−2
(1+∂x∂z)
φ′′
=
−(1+φ′)32(2x+1)φ′′.
=
+
(
x
−
y
)
f23′′
+
x
y
f33′′
+
f3′
.
