8.5 复合函数微分法

全微分形式的不变性 设函数 $z = f(u,v), u = u(x,y)$ 及 $v = v(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 的全微分

即：不论把函数 $z$ 看做自变量 $x,y$ 的函数，还是看作中间变量 $u,v$ 的函数，函数 $z$ 的全微分形式都是一样的。

相关例题

【例 1】（2011, 数一）设函数 $F(x,y) = \int_0^{xy} \frac{\sin t}{1+t^2}\mathrm{d}t$，则 = ________。

解【方法 1】

故 $\left.\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}} = 4$。

【方法 2】 $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{y\sin xy}{1+x^2y^2}, F'_x(x,2) = \frac{2\sin 2x}{1+4x^2}$。

【例 2】（2011, 数三）设函数 $z = \left(1+\frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}$，则 ________。

解 由 $z = e^{\frac{x}{y}\ln(1+\frac{x}{y})}$，可得

所以

【例 3】（2007, 数一）设 $f(u,v)$ 为二元可微函数，$z = f(x^y, y^x)$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} =$ ________。

解 利用复合函数的求导公式，可直接得出

【例 4】（2024, 数一）设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $\mathrm{d}f|_{(1,1)} = 3\mathrm{d}u + 4\mathrm{d}v$，令 ，则 ________。

解 由 $\mathrm{d}f|_{(1,1)} = 3\mathrm{d}u + 4\mathrm{d}v$ 可知 $f'_u(1,1) = 3, f'_v(1,1) = 4$。 又 ，则

【例 5】（2019, 数三）设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x,y) = xy - f(x+y, x-y)$，求 。

解 $\frac{\partial g}{\partial x} = y - (f'_1 + f'_2) = y - f'_1 - f'_2$，

$\frac{\partial g}{\partial y} = x - (f'_1 - f'_2) = x - f'_1 + f'_2$，

则 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 1 - 3f''_{11} - f''_{22}$。

【例 6】（2009, 数二）设 $z = f(x+y, x-y, xy)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\mathrm{d}z$ 与 $\frac{{\mathrm{\partial }}^{}}{}$。

解 由于 $\frac{\partial z}{\partial x} = f'_1 + f'_2 + yf'_3, \frac{\partial z}{\partial y} = f'_1 - f'_2 + xf'_3$，所以

【例 7】（2011, 数一、二）设函数 $z = f(xy, yg(x))$，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 。求 。

解【方法 1】 由 $z = f(xy, yg(x))$ 知

上式两端对 $y$ 偏导得

由题意 $g(1)=1, g'(1)=0$，在上式中令 $x=1, y=1$ 得

【方法 2】 由 $z = f(xy, yg(x))$ 知

由题意得 $g(1)=1, g'(1)=0$，在上式中令 $x=1$ 得

上式两端对 $y$ 求导得

令 $y=1$ 得

【例 8】（2014, 数一、二）设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，$z = f(e^x \cos y)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (4z + e^x \cos y)e^{2x}$。若 ，求 的表达式。

解 令 $e^x \cos y = u$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u)e^x \cos y, \frac{\partial z}{\partial y} = -f'(u)e^x \sin y$。

将以上两个式子代入 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (4z + e^x \cos y)e^{2x}$ 得

即 $f''(u) - 4f(u) = u$。此方程对应的齐次方程的特征方程为 $r^2 - 4 = 0$，特征根为 ，齐次方程的通解为

设非齐次方程的特解为 $f^* = au + b$，代入非齐次方程得 $a = -\frac{1}{4}, b = 0$。则原方程的通解为 。

由 $f(0)=0, f'(0)=0$ 得 $C_1 = \frac{1}{16}, C_2 = -\frac{1}{16}$，则

心得笔记

1. 数一 2011年的这道题把我难住了，实际上对变上限积分函数求导，只需要把积分上限带到被积函数里面来，同时上限是个复合函数，因此要乘上这个复合函数的导数。另外，求一阶偏导的时候就直接带y的值进去会比较好算。
2. 数一 2007 年题，明明是套公式即可的，但上手就不会操作，原来 z 对 u 的偏导直接用 f撇1表示就行，对 v 亦然。然后只需要求 u 对 x 和 v 对 x 的导数，分别乘进去就行
3. 2011 年数3题，底数和指数都带x，不知道怎么求导。—— 幂指函数求导：先取自然对数转化成乘积形式再隐函数求导，也可写成e的指数形式再复合求导。一开始忘了直接带值，算到最后有种被耍了的感觉。