连续性的概念

定义 设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称 在点 处连续。

【注】 以上两个定义是等价的。

定义 若 $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，则称 在点 处左连续； 若 ，则称 在点 处右连续。

定理 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处既左连续又右连续。

定义 如果 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内每点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续。若 $f(x)$ 在区间 内连续，在 处右连续，在 处左连续，则称 在 上连续。

【例 1】 (2017, 数一、二、三) 设函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{cases}$，在 处连续，则 (A) . (B) . (C) . (D) .

解 由 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续可知
$\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^2}{ax}=\frac{1}{2a}$ , 则 ，故应选 (A)。

【例 2】 (1994, 数三) 若 $f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0\end{cases}$ 在 内连续，则 ______。 解 显然 在 处连续，又 . 要使 在 处连续，则 , 故 .

【例 3】 (2008, 数三) 设函数 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & |x| \leqslant c, \\ \frac{2}{|x|}, & |x|>c\end{cases}$ 在 内连续，则 ______。 解 显然 在 处都连续，又 是偶函数，要使 在 上连续，只要 在 处连续，又 , , , 则 ，即 . , 解得 .

【例 6】 (1997, 数二) 已知 $f(x)=\begin{cases}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}, & x\neq 0, \\ a, & x=0\end{cases}$，在 处连续，则 ______。 解 ， ， 故 。 又 ，则 时， 在 连续。