1.13连续性的概念

定义 设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称 在点 处连续。

【注】 以上两个定义是等价的。

定义 若 $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，则称 在点 处左连续； 若 ，则称 在点 处右连续。

定理 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处既左连续又右连续。

定义 如果 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内每点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续。若 $f(x)$ 在区间 内连续，在 处右连续，在 处左连续，则称 在 上连续。

【例 1】 (2017, 数一、二、三) 设函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{cases}$，在 处连续，则 (A) . (B) . (C) . (D) .

解 由 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续可知
$\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}=\lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^2}{ax}=\frac{1}{2a}$ , 则 ，故应选 (A)。

【例 2】 (1994, 数三) 若 $f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0\end{cases}$ 在 内连续，则 ______。 解 显然 在 处连续，又 . 要使 在 处连续，则 , 故 .

【例 3】 (2008, 数三) 设函数 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & |x| \leqslant c, \\ \frac{2}{|x|}, & |x|>c\end{cases}$ 在 内连续，则 ______。 解 显然 在 处都连续，又 是偶函数，要使 在 上连续，只要 在 处连续，又 , , , 则 ，即 . , 解得 .

【例 6】 (1997, 数二) 已知 $f(x)=\begin{cases}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}, & x\neq 0, \\ a, & x=0\end{cases}$，在 处连续，则 ______。 解 ， ， 故 。 又 ，则 时， 在 连续。

【例 9】 (2024, 数三) 设函数 $f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{1+x}{1+nx^{2n}}$，则 (A) 在 处都连续。 (B) 在 处连续，在 处不连续。 (C) 在 处都不连续。 (D) 在 处不连续，在 处连续。

解 当 $|x| \geqslant 1$ 时，$f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{1+x}{1+nx^{2n}}=0$。 当 时，，这里 。 在 处，， ， ，则 在 处连续。 在 处，， ， 则 在 处不连续，故应选 (D)。

心得笔记

1. 有理式的长除法差点不会做，要把所有项都写成来
2. 1 的无穷大次型未定式极限的求法又搞忘记了。化为自然对数底为底的指数形式(原式写成e的ln原式次)后，幂次转换成乘法αβ，ln后面是原来的底数，极限是1，那就拆成1+方框-1，所以极限值实际上就是e的α(β-1次)
3. 考虑由极限定义的函数：当自然数 n 趋于无穷大时，底数 x 的 n 次方的极限函数，其在 x 等于 1 处的连续性值得深入讨论。这是因为，当 x 的绝对值小于 1 时，极限值为 0；当 x 等于 1 时，极限值为 1；而当 x 大于 1 时，极限发散至正无穷。底数在 1 附近的微小变化会导致极限结果产生突变，因而该极限函数在 x 等于 1 处并不连续。