多元函数的基本概念

其中点集 $D$ 称为该函数的定义域，$x,y$ 称为自变量，$z$ 称为因变量。函数值 $f(x,y)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的值域，记为 $f(D)$。

通常情况下，二元函数 $z = f(x,y)$ 在几何上表示一张空间曲面。

定义 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P_0(x_0, y_0) \in D$ 或为 的边界点，如果 ，存在 ，当 ，且 时，都有

成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y) \to (x_0, y_0)$ 时的极限，记为

【注】
(1) 这里的极限是要求点 $(x,y)$ 在 $D$ 内以任意方式趋近于点 $(x_0, y_0)$ 时，函数 $f$ 都趋近于同一确定的常数 ，否则该极限就不存在。 (2) 一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立。 ① 局部有界性。 保号性。③ 有理运算。④ 极限与无穷小的关系。⑤ 夹逼性。

【例 1】 求极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$。

解 $f(x) \to 0 \Leftrightarrow |f(x)| \to 0$，$0 \leqslant \left| \frac{xy^2}{x^2 + y^2} \right| \leqslant |x|$，由夹逼定理得 。

【例 2】 证明极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 不存在。

证 $\displaystyle \lim_{\substack{y=kx \\ x \to 0}} \frac{kx^2}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1+k^2}$，该极限依赖于 ，故极限 不存在。

【注】 证明重极限不存在的常用方法：沿两种不同路径极限不同（通常可取过点 $(x_0, y_0)$ 的直线）。

二、多元函数的连续性

1. 连续的概念

定义 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P_0(x_0, y_0) \in D$，如果

成立，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ ；如果 在区域 上的每个点 处都连续，则称函数 在区域 上连续。

2. 连续函数的性质

性质 1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
性质 2 多元连续函数的复合函数也是连续函数。
性质 3 多元初等函数在其定义区域内连续。
性质 4（最大值定理） 有界闭区域 $D$ 上的连续函数在区域 $D$ 上必能取得最大值与最小值。
性质 5（介值定理） 有界闭区域 $D$ 上的连续函数在区域 $D$ 上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。

三、偏导数

1. 偏导数的定义

定义 设 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有定义，如果

存在，则称这个极限值为函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处对 的，记为

类似地，如果

存在，则称这个极限值为函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处对 的，记为

【注】 由以上定义不难看出偏导数本质上就是一元函数的导数，其中 $f'_x(x_0, y_0)$ 就是一元函数 $f(x, y_0)$ 在 处的导数， 就是一元函数 在 处的导数。

【例 3】 （2023，数三）已知函数 $f(x,y) = \ln(y + |x \sin y|)$，则
(A) $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)}$ 不存在， 存在。 (B) 存在， 不存在。 (C) 均存在。 (D) 均不存在。

解 $f(x,y) = \ln(y + |x \sin y|)$，

此极限不存在，所以 $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)}$ 不存在。

所以 $\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)}$ 存在且 。选 (A)。

2. 二元函数偏导数的几何意义

设 $M(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 为曲面 上的一点。过点 作平面 与曲面 相交，其交线为平面 上的曲线 ，即 则 表示上述交线在点 处的切线对 轴的斜率。同样，过点 作平面 与曲面 相交，其交线为平面 上的曲线 ，则 表示上述交线在点 处的切线对 轴的斜率。

3. 高阶偏导数

定义 如果 $z = f(x,y)$ 在区域 $D$ 内的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 仍然存在偏导数，则称之为函数 的二阶偏导数，常记为

常称 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 为。

定理 如果函数 $z = f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 及 在区域 内连续，则在该区域内这两个混合偏导数必定相等。

对于二元以上的函数，也可以类似地定义二阶或更高阶偏导数，且二阶与高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与求导次序无关。

四、全微分

定义（全微分） 如果函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的全增量

可表示为

其中 $A, B$ 与 $\Delta x, \Delta y$ 无关，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数 在点 处，而称 为函数 在点 处的，记为

如果 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内的每一点 $(x,y)$ 都可微分，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 内可微分。

定理（全微分存在的必要条件） 如果函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则该函数在点 $(x,y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且

用定义判定 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的可微性分以下两步：
(1) $f'_x(x_0, y_0)$ 与 是否都存在？ (2) 是否为零？

定理（全微分存在的充分条件） 如果 $z = f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 处连续，则函数 在点 处可微。

连续、可偏导及可微之间的关系

一元函数
连续 $\longleftrightarrow$ 可导 $\longleftrightarrow$ 可微

多元函数
连续 $\nleftarrow\nrightarrow$ 可导（偏导）
$\downarrow$ $\uparrow$
可微 $\longleftarrow$ 一阶偏导数连续