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8.1~8.4多元函数的基本概念
高等数学

8.1~8.4多元函数的基本概念

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更新于 2026-09-30
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  • 《武忠祥高等数学基础篇》
    《武忠祥高等数学基础篇》

    • 一、多元函数的极限

    定义 设 DDD 是平面上的一个点集，若对每个点 P(x,y)∈DP(x,y) \in DP(x,y)∈D，变量 zzz 按照某一对应法则 fff 有一个确定的值与之对应，则称 zzz 为 的二元函数，记为 , 其中点集 称为该函数的定义域， 称为自变量， 称为因变量。函数值 的全体所构成的集合称为函数 的值域，记为 。 通常情况下，二元函数 在几何上表示一张空间曲面。

    相关内容

    • 函数与极限

    文章大纲

    • 一、多元函数的极限
    • 二、多元函数的连续性
      • 1. 连续的概念
      • 2. 连续函数的性质
    • 三、偏导数
      • 1. 偏导数的定义
      • 2. 二元函数偏导数的几何意义
      • 3. 高阶偏导数
    • 四、全微分
      • 连续、可偏导及可微之间的关系
    • 心得笔记
    选项
    文章 ID: 619

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    x,yx,y
    x,y
    z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
    DDD
    x,yx,yx,y
    zzz
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    fff
    f(D)f(D)f(D)
    z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)

    定义 设函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在区域 DDD 上有定义，点 P0(x0,y0)∈DP_0(x_0, y_0) \in DP0​(x0​,y 或为 的边界点，如果 ，则称常数 为函数 当 时的极限，记为

    lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A或lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A或lim⁡P→P0f(P)=A.\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = A \quad \text{或} \quad \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x,y) = A \quad \text{或} \quad \lim_{P \to P_0} f(P) = A.(x,y)→(x

    【注】
    (1) 这里的极限是要求点 (x,y)(x,y)(x,y) 在 DDD 内以任意方式趋近于点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) 时，函数 f 都趋近于同一确定的常数 ，否则该极限就不存在。 (2) 一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立。 ① 局部有界性。 ②保号性。③ 有理运算。④ 极限与无穷小的关系。⑤ 夹逼性。

    【例 1】 求极限 lim⁡x→0y→0xy2x2+y2\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy^2}{x^2 + y^2}x→0y→0​lim​x。

    解 f(x)→0⇔∣f(x)∣→0f(x) \to 0 \Leftrightarrow |f(x)| \to 0f(x)→0⇔∣f(x)∣→0，0⩽∣xy2x2+y2∣⩽∣x∣0 \leqslant \left| \frac{xy^2}{x^2 + y^2} \right| \leqslant |x|0⩽，由夹逼定理得 。

    【例 2】 证明极限 lim⁡x→0y→0xyx2+y2\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy}{x^2 + y^2}x→0y→0​lim​x 不存在。

    证 lim⁡y=kxx→0kx2x2+k2x2=k1+k2\displaystyle \lim_{\substack{y=kx \\ x \to 0}} \frac{kx^2}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1+k^2}y=kxx→0​lim​，该极限依赖于 ，故极限 不存在。

    【注】 证明重极限不存在的常用方法：沿两种不同路径极限不同（通常可取过点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) 的直线）。

    二、多元函数的连续性

    1. 连续的概念

    定义 设函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在区域 DDD 上有定义，点 P0(x0,y0)∈DP_0(x_0, y_0) \in DP0​(x0​,y，如果

    lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)(x,y)→(x0​,y0​)lim

    成立，则称函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0​(x0​,y0​ ；如果 在区域 上的每个点 处都连续，则称函数 在区域 上连续。

    2. 连续函数的性质

    性质 1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
    性质 2 多元连续函数的复合函数也是连续函数。
    性质 3 多元初等函数在其定义区域内连续。
    性质 4（最大值定理） 有界闭区域 DDD 上的连续函数在区域 DDD 上必能取得最大值与最小值。
    性质 5（介值定理） 有界闭区域 DDD 上的连续函数在区域 DDD 上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。

    三、偏导数

    1. 偏导数的定义

    定义 设 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0​(x0​,y 的某一邻域内有定义，如果

    lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}Δx→0lim​Δxf(x0​

    存在，则称这个极限值为函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0​(x0​,y 处对 的，记为

    或 ∂f∂x∣x=x0y=y0\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}}∂x∂f​​ 或 或

    类似地，有函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0)P0​(x0​,y 处对 的，

    【注】 由以上定义不难看出偏导数本质上就是一元函数的导数，其中 fx′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0)fx′​(x0​,y0​) 就是一元函数 f(x,y0)f(x, y_0) 在 处的导数， 就是一元函数 在 处的导数。

    【例 3】 （2023，数三）已知函数 f(x,y)=ln⁡(y+∣xsin⁡y∣)f(x,y) = \ln(y + |x \sin y|)f(x,y)=ln(y+∣xsiny∣)，则
    (A) ∂f∂x∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)} 不存在， 存在。 (B) 存在， 不存在。 (C) 均存在。 (D) 均不存在。

    解 f(x,y)=ln⁡(y+∣xsin⁡y∣)f(x,y) = \ln(y + |x \sin y|)f(x,y)=ln(y+∣xsiny∣)，

    lim⁡x→0f(x,1)−f(0,1)x=lim⁡x→0ln⁡(1+∣xsin⁡1∣)x=lim⁡x→0∣xsin⁡1∣x,\lim_{x \to 0} \frac{f(x,1) - f(0,1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + |x \sin 1|)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{|x \sin 1|}{x},x→0lim​xf

    此极限不存在，所以 ∂f∂x∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)}∂x∂f​​(0,1) 不存在。

    lim⁡y→0f(0,1+y)−f(0,1)y=lim⁡y→0ln⁡(1+y)y=1,\lim_{y \to 0} \frac{f(0, 1+y) - f(0,1)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{y} = 1,y→0lim​yf(0,1+y

    所以 ∂f∂y∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)}∂y∂f​​(0,1) 存在且 。选 (A)。

    2. 二元函数偏导数的几何意义

    设 M0(x0,y0,f(x0,y0))M_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0))M0​(x0​,y0​,f(x 为曲面 上的一点，过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ，则导数 ，即偏导数 ，就是这曲线在点 处的切线 对 轴的斜率

    同样，偏导数 fy(x0,y0)f_y(x_0, y_0)fy​(x0​,y0​) 的几何意义是曲面被平面 x=x0x=x_0x= 所截得的曲线在点 处的切线 对 轴的斜率.

    偏导数的几何意义
    偏导数的几何意义

    3. 高阶偏导数

    定义 如果 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在区域 DDD 内的偏导数 ∂z∂x,∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}∂x∂z 仍然存在偏导数，则称之为函数 的二阶偏导数，常记为

    ∂∂x(∂z∂x)=∂2z∂x2 或 fxx′′,∂∂y(∂z∂x)=∂2z∂x∂y 或 fxy′′,\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \text{ 或 } f''_{xx}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \text{ 或 } f''_{xy},∂x∂​
    ∂∂x(∂z∂y)=∂2z∂y∂x 或 fyx′′,∂∂y(∂z∂y)=∂2z∂y2 或 fyy′′,\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \text{ 或 } f''_{yx}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \text{ 或 } f''_{yy},∂x∂​

    常称 ∂2z∂x∂y,∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}∂x∂y∂2z​,∂y∂ 为。

    定理 如果函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}∂x∂y∂2z 及 在区域 内连续，则在该区域内这两个混合偏导数必定相等。

    对于二元以上的函数，也可以类似地定义二阶或更高阶偏导数，且二阶与高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与求导次序无关。

    四、全微分

    定义（全微分） 如果函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) 处的全增量

    Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δ

    可表示为

    Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho),Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),

    其中 A,BA, BA,B 与 Δx,Δy\Delta x, \Delta yΔx,Δy 无关，ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}ρ=(Δx)2，则称函数 在点 处，而称 为函数 在点 处的，记为

    dz=AΔx+BΔy.dz = A \Delta x + B \Delta y.dz=AΔx+BΔy.

    如果 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在区域 DDD 内的每一点 (x,y)(x,y)(x,y) 都可微分，则称 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 DDD 内可微分。

    定理（全微分存在的必要条件） 如果函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x,y)(x,y)(x,y) 处可微，则该函数在点 (x,y)(x,y)(x,y) 处的偏导数 ∂z∂x,∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} 必定存在，且

    dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy.dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy.dz=∂x∂z​dx+∂y∂

    用定义判定 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) 处的可微性分以下两步：
    (1) fx′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0) 与 是否都存在？ (2) 是否为零？

    定理（全微分存在的充分条件） 如果 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 的偏导数 ∂z∂x,∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}∂x∂z​, 在点 处连续，则函数 在点 处可微。

    连续、可偏导及可微之间的关系

    一元函数
    连续 ⟷\longleftrightarrow⟷ 可导 ⟷\longleftrightarrow⟷ 可微

    多元函数
    连续 ↚↛\nleftarrow\nrightarrow↚↛ 可导（偏导）
    ↓\downarrow↓ ↑\uparrow↑
    可微 ⟵\longleftarrow⟵ 一阶偏导数连续

    【例 4】（1997, 数一）二元函数 f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}f(x,y)={ 在点 处 (A) 连续、偏导数存在. (B) 连续、偏导数不存在. (C) 不连续、偏导数存在. (D) 不连续、偏导数不存在.

    解 lim⁡x→0y→0xyx2+y2\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} \frac{xy}{x^2+y^2}limx→0y→0​​x 极限不存在，故 在点 处不连续。

    fx′(0,0)=lim⁡Δx→0f(0+Δx,0)−f(0,0)Δx=lim⁡Δx→00−0Δx=0,f'_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0-0}{\Delta x} = 0,fx′​(0,0)=

    由对称性可得 fy′(0,0)=0f'_y(0,0) = 0fy′​(0,0)=0，故应选 (C)。

    【例 5】（1994, 数一、二）二元函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) 处两个偏导数 fx′(x0,y0),fy 存在，是 在该点连续的 (A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.

    解 由连续、可偏导及可微之间的关系图可知，应选 (D)。

    【例 6】（2012, 数三）设连续函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 满足 lim⁡x→0y→1f(x,y)−2x+y−2x2+(y−1)2=0\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 1}} \frac{f(x,y) - 2x + y - 2}{\sqrt{x^2 + (y-1)^2}} = 0lim，则 ________。

    解 由 lim⁡x→0y→1f(x,y)−2x+y−2x2+(y−1)2=0\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 1}} \frac{f(x,y) - 2x + y - 2}{\sqrt{x^2 + (y-1)^2}} = 0limx→0y→1​​ 得，，且

    lim⁡x→0y→1[f(x,y)−f(0,1)]−[2x−(y−1)]x2+(y−1)2=0,\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 1}} \frac{[f(x,y) - f(0,1)] - [2x - (y-1)]}{\sqrt{x^2 + (y-1)^2}} = 0,x→0y→1​lim​

    即

    Δz=f(x,y)−f(0,1)=2x−(y−1)+o(ρ),\Delta z = f(x,y) - f(0,1) = 2x - (y-1) + o(\rho),Δz=f(x,y)−f(0,1)=2x−(y−1)+

    则 dz∣(0,1)=2dx−dy\mathrm{d}z|_{(0,1)} = 2\mathrm{d}x - \mathrm{d}ydz∣(0,1)​=2dx−dy。

    【反例】证明以下几个经典的反例。 (1) f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x,y) = |x| + |y|f(x,y)=∣x∣+∣y∣ 在 (0,0)(0,0)(0,0) 点连续，但偏导数不存在（也不可微）。 (2) f(x,y)={xyx2+y2, 在 点偏导数存在，但不连续。 (3) 在 点偏导数存在，但不可微。 (4) 在 点可微，但偏导数不连续。

    (证) (1) 由于

    lim⁡x→0y→0f(x,y)=lim⁡x→0y→0(∣x∣+∣y∣)=0=f(0,0),\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} f(x,y) = \lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} (|x| + |y|) = 0 = f(0,0),x→0y→0​

    故 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0)(0,0) 点连续。 又 f(x,0)=∣x∣f(x,0) = |x|f(x,0)=∣x∣ 在 x=0x=0x= 处不可导，则 不存在，由对称性知 也不存在，故 在 点连续，但偏导数不存在，因此也不可微。

    (2) 由于

    fx′(0,0)=lim⁡Δx→0f(Δx,0)−f(0,0)Δxf'_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x}fx′​(0,0)=Δx→0lim​
    =lim⁡Δx→00−0Δx=0.= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0-0}{\Delta x} = 0.=Δx→0lim​Δx0−0​=0.

    由对称性知 fy′(0,0)=0f'_y(0,0) = 0fy′​(0,0)=0，则 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0) 点偏导数存在，又

    lim⁡x→0y=kxf(x,y)=lim⁡x→0kx2x2+k2x2=k1+k2,\lim_{\substack{x\to 0 \\ y=kx}} f(x,y) = \lim_{x\to 0} \frac{kx^2}{x^2+k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2},x→0y=kx​lim​

    则极限 lim⁡x→0y→0f(x,y)\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} f(x,y)limx→0y→0​​f(x,y) 不存在，从而 f(x,y)f(x,y) 在 点不连续。

    (3) 由于

    fx′(0,0)=lim⁡Δx→0f(Δx,0)−f(0,0)Δxf'_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x}fx′​(0,0)=Δx→0lim​
    =lim⁡Δx→00−0Δx=0.= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0-0}{\Delta x} = 0.=Δx→0lim​Δx0−0​=0.

    同理 fy′(0,0)=0f'_y(0,0) = 0fy′​(0,0)=0，则 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0) 点偏导数存在，但

    lim⁡Δx→0Δy→0[f(Δx,Δy)−f(0,0)]−[fx′(0,0)Δx+fy′(0,0)Δy]ρ=lim⁡Δx→0Δy→0ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2.\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{[f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0)] - [f'_x(0,0)\Delta x + f'_y(0,0)\Delta y]}{\rho} = \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}.

    由 (2) 可知该极限不存在，则 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0)(0,0) 点不可微。

    (4) 由于

    fx′(0,0)=lim⁡Δx→0f(Δx,0)−f(0,0)Δxf'_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x}fx′​(0,0)=Δx→0lim​
    =lim⁡Δx→0(Δx)2sin⁡1(Δx)2−0Δx= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2 \sin \frac{1}{(\Delta x)^2} - 0}{\Delta x}=Δx→0lim​Δx(Δx)2
    =lim⁡Δx→0Δxsin⁡1(Δx)2=0.= \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{(\Delta x)^2} = 0.=Δx→0lim​Δxsin(Δx)21​

    同理 fy′(0,0)=0f'_y(0,0) = 0fy′​(0,0)=0，又

    lim⁡Δx→0Δy→0[f(Δx,Δy)−f(0,0)]−[fx′(0,0)Δx+fy′(0,0)Δy]ρ\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{[f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0)] - [f'_x(0,0)\Delta x + f'_y(0,0)\Delta y]}{\rho}Δx→0Δy
    =lim⁡Δx→0Δy→0[(Δx)2+(Δy)2]sin⁡1(Δx)2+(Δy)2(Δx)2+(Δy)2= \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{[(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2]\sin \frac{1}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}=Δx→0
    =lim⁡Δx→0Δy→0(Δx)2+(Δy)2sin⁡1(Δx)2+(Δy)2=0,= \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \sin \frac{1}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = 0,=Δx→0Δy→0​

    则 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 (0,0)(0,0)(0,0) 点可微。又当 (x,y)≠(0,0)(x,y) \neq (0,0)(x,y)=(0,0) 时

    fx′(x,y)=2xsin⁡1x2+y2−2xx2+y2cos⁡1x2+y2.f'_x(x,y) = 2x \sin \frac{1}{x^2+y^2} - \frac{2x}{x^2+y^2} \cos \frac{1}{x^2+y^2}.fx′​(x,y)=2xsin

    由于 lim⁡x→0y→02xsin⁡1x2+y2=0\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} 2x \sin \frac{1}{x^2+y^2} = 0limx→0y→0​​2xsinx，而 不存在， 则 不存在，从而有 不存在，则 在 点不连续，即偏导数不连续。

    【例 8】（2017, 数二）设 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 具有一阶偏导数，且对任意的 (x,y)(x,y)(x,y) 都有 ∂f(x,y)∂x>0\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} > 0∂x∂f，，则 (A) . (B) . (C) . (D) .

    解【方法 1】 直接法 由于 f(1,0)−f(0,1)=[f(1,0)−f(0,0)]−[f(0,1)−f(0,0)]f(1,0) - f(0,1) = [f(1,0) - f(0,0)] - [f(0,1) - f(0,0)]f(1,0)−f(0,1)=[f(1,0)−f(0,

    =fx′(ξ,0)−fy′(0,η)(0<ξ<1,0<η<1).= f'_x(\xi, 0) - f'_y(0, \eta) \quad (0 < \xi < 1, 0 < \eta < 1).=fx′​(ξ,0)−fy

    由 ∂f(x,y)∂x>0\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} > 0∂x∂f(x,y)​>0 知，fx′(ξ,0)>0f'_x(\xi, 0) > 0f，由 知 ，则

    fx′(ξ,0)−fy′(0,η)>0,f'_x(\xi, 0) - f'_y(0, \eta) > 0,fx′​(ξ,0)−fy′​(0,

    即 f(1,0)−f(0,1)>0f(1,0) - f(0,1) > 0f(1,0)−f(0,1)>0，故 f(1,0)>f(0,1)f(1,0) > f(0,1)f(1,0)>f(0,1)。选 (D)。

    【方法 2】 排除法 令 f(x,y)=x−yf(x,y) = x - yf(x,y)=x−y，则 ∂f(x,y)∂x=1>0,∂f(x,y)∂y=−1<0\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 1 > 0, \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = -1 < 0∂x 符合题设条件，而 ， 则排除 (A)(B)(C)，故应选 (D)。

    心得笔记

    1. 多元函数微分学这一章分了两三节，按照之前的惯例，各节不纳入目录，第二节第一小节是复合函数的微分法，接着前面的第4节编号，作为第5节。
    2. 夹逼准则要写绝对值符号，这一点还是没太搞清楚
    3. 顶点的全微分是关于增量 dx, dy 的线性表达式
    4. 连续：趋近点的函数值可直接代自变量进去求

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    • 0​
    )
    ∈
    D
    DDD
    ∀ε>0\forall \varepsilon > 0∀ε>0，存在 δ>0\delta > 0δ>0，当 P(x,y)∈DP(x,y) \in DP(x,y)∈D，且 0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta0<(x−x0​)2+(y−y0​)2 时，都有 ∣f(x,y)−A∣<ε|f(x,y) - A| < \varepsilon∣f(x,y)−A∣<ε 成立
    AAA
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    (x,y)→(x0,y0)(x,y) \to (x_0, y_0)(x,y)→(x0​,y0​)
    0
    ​
    ,
    y0​
    )
    lim
    ​
    f
    (
    x
    ,
    y
    )
    =
    A或x→x0​y→y0​​lim​f(x,y)=
    A或P→P0​lim​f(P)=
    A.
    (x,y)f(x,y)
    f(x,y)
    AAA


    2
    +
    y2
    xy2
    ​
    ​
    x2+y2xy2​
    ​
    ⩽
    ∣x∣
    lim⁡x→0y→0xy2x2+y2=0\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = 0x→0y→0​lim​x2+y2xy2​=0
    2
    +
    y2
    xy
    ​
    x2+k2x2
    kx2
    ​
    =
    1+k2k​
    kkk
    lim⁡x→0y→0xyx2+y2\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{xy}{x^2 + y^2}x→0y→0​lim​x2+y2xy​
    0​
    )
    ∈
    D
    ​
    f
    (
    x
    ,
    y
    )
    =
    f(x0​,y0​)
    )
    连续
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    DDD
    (x,y)(x,y)(x,y)
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    DDD
    0
    ​
    )
    +
    Δ
    x
    ,
    y0​
    )
    −
    f
    (
    x0​
    ,
    y0​
    )
    ​
    0
    ​
    )
    xxx
    偏导数
    x=x0​y=y0​​
    ​
    zx′(x0,y0)z'_x(x_0, y_0)zx′​(x0​,y0​)
    fx′(x0,y0).f'_x(x_0, y_0).fx′​(x0​,y0​).
    0
    ​
    )
    yyy
    偏导数
    ∂z∂y∣x=x0y=y0\left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} ∂y∂z​​x=x0​y=y0​​​
    f(x,y0​)
    x=x0x = x_0x=x0​
    fy′(x0,y0)f'_y(x_0, y_0)fy′​(x0​,y0​)
    f(x0,y)f(x_0, y)f(x0​,y)
    y=y0y = y_0y=y0​
    ∂x
    ∂f
    ​
    ​
    (0,1)​
    ∂f∂y∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)}∂y∂f​​(0,1)​

    ∂f∂x∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)}∂x∂f​​(0,1)​
    ∂f∂y∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)}∂y∂f​​(0,1)​

    ∂f∂x∣(0,1),∂f∂y∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)}, \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)}∂x∂f​​(0,1)​,∂y∂f​​(0,1)​

    ∂f∂x∣(0,1),∂f∂y∣(0,1)\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,1)}, \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)}∂x∂f​​(0,1)​,∂y∂f​​(0,1)​
    (
    x
    ,
    1
    )
    −
    f
    (
    0
    ,
    1
    )
    ​
    =
    x→0lim​xln(1+∣xsin1∣)​=
    x→0lim​x∣xsin1∣​,
    ​
    )
    −
    f
    (
    0
    ,
    1
    )
    ​
    =
    y→0lim​yln(1+y)​=
    1,
    ​
    ∂f∂y∣(0,1)=1\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(0,1)} = 1∂y∂f​​(0,1)​=1
    0
    ​
    ,
    y0​
    ))
    z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)
    M0M_0M0​
    y=y0y=y_0y=y0​
    y=y0y=y_0y=y0​
    z=f(x,y0)z=f(x, y_0)z=f(x,y0​)
    ddxf(x,y0)∣x=x0\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x, y_0) \right|_{x=x_0}dxd​f(x,y0​)​x=x0​​
    fx(x0,y0)f_x(x_0, y_0)fx​(x0​,y0​)
    M0M_0M0​
    M0TxM_0T_xM0​Tx​
    xxx
    x0​
    M0M_0M0​
    M0TyM_0T_yM0​Ty​
    yyy
    ​
    ,
    ∂y∂z​
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    (
    ∂x∂z​
    )
    =
    ∂x2∂2z​ 或 fxx′′​,∂y∂​(∂x∂z​)=
    ∂x∂y∂2z​ 或 fxy′′​,
    (
    ∂y∂z​
    )
    =
    ∂y∂x∂2z​ 或 fyx′′​,∂y∂​(∂y∂z​)=
    ∂y2∂2z​ 或 fyy′′​,
    x
    ∂2z
    ​
    混合偏导数
    ​
    ∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}∂y∂x∂2z​
    DDD
    y
    )
    −
    f(x0​,y0​)
    +
    (
    Δ
    y
    )2
    ​
    z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
    (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)
    可微
    AΔx+BΔyA \Delta x + B \Delta yAΔx+BΔy
    z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
    (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)
    全微分
    ∂x∂z​,∂y∂z​
    z
    ​
    d
    y
    .
    fx′​(x0​,y0​)
    fy′(x0,y0)f'_y(x_0, y_0)fy′​(x0​,y0​)

    lim⁡Δx→0Δy→0[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)]−[fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy](Δx)2+(Δy)2\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{[f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)] - [f'_x(x_0, y_0)\Delta x + f'_y(x_0, y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}Δx→0Δy→0​lim​(Δx)2+(Δy)2​[f(x
    ∂y∂z​
    (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)
    z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
    (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)
    x2+y2
    xy
    ​
    ,
    0,
    ​
    (x,y)=(0,0),(x,y)=(0,0)​
    (0,0)(0,0)(0,0)



    2
    +
    y2
    xy
    ​
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    (0,0)(0,0)(0,0)
    Δx→0
    lim
    ​
    Δxf(0+Δx,0)−f(0,0)​
    =
    Δx→0lim​Δx0−0​=
    0,
    ′(x0,y0)f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)
    fx′​(x0​,y0​),fy′​(x0​,y0​)
    f(x,y)f(x,y)f(x,y)



    x→0
    y→1
    ​
    ​
    x2+(y−1)2​f(x,y)−2x+y−2​
    =
    0
    dz∣(0,1)=\mathrm{d}z|_{(0,1)} =dz∣(0,1)​=
    x2+(y−1)2​
    f(x,y)−2x+y−2
    ​
    =
    0
    f(0,1)=1f(0,1) = 1f(0,1)=1
    x2+(y−1)2​[f(x,y)−f(0,1)]−[2x−(y−1)]​
    =
    0,
    o(ρ),
    (x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}
    f(x,y)={x2+y2xy​,0,​(x,y)=(0,0),(x,y)=(0,0)​
    (0,0)(0,0)(0,0)
    f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}f(x,y)={x2+y2​xy​,0,​(x,y)=(0,0),(x,y)=(0,0)​
    (0,0)(0,0)(0,0)
    f(x,y)={(x2+y2)sin⁡1x2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y) = \begin{cases} (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}f(x,y)={(x2+y2)sinx2+y21​,0,​(x,y)=(0,0),(x,y)=(0,0)​
    (0,0)(0,0)(0,0)
    lim
    ​
    f
    (
    x
    ,
    y
    )
    =
    x→0y→0​lim​(∣x∣+
    ∣y∣)=
    0=
    f(0,0),
    0
    fx′(0,0)f'_x(0,0)fx′​(0,0)
    fy′(0,0)f'_y(0,0)fy′​(0,0)
    f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x,y) = |x| + |y|f(x,y)=∣x∣+∣y∣
    (0,0)(0,0)(0,0)
    Δxf(Δx,0)−f(0,0)​
    (
    0
    ,
    0
    )
    f
    (
    x
    ,
    y
    )
    =
    x→0lim​x2+k2x2kx2​=
    1+k2k​,
    f
    (
    x
    ,
    y
    )
    (0,0)(0,0)(0,0)
    Δxf(Δx,0)−f(0,0)​
    (
    0
    ,
    0
    )
    Δx→0Δy→0​lim​ρ[f(Δx,Δy)−f(0,0)]−[fx′​(0,0)Δx+fy′​(0,0)Δy]​=
    Δx→0Δy→0​lim​(Δx)2+(Δy)2​ΔxΔy​.
    Δxf(Δx,0)−f(0,0)​
    sin
    (Δx)21​
    −
    0
    ​
    =
    0.
    →
    0
    ​
    lim
    ​
    ρ[f(Δx,Δy)−f(0,0)]−[fx′​(0,0)Δx+fy′​(0,0)Δy]​
    Δy→0
    ​
    lim
    ​
    (Δx)2+(Δy)2​[(Δx)2+(Δy)2]sin(Δx)2+(Δy)21​​
    lim
    ​
    (Δx)2+(Δy)2​
    sin
    (Δx)2+(Δy)21​
    =
    0,
    x2
    +
    y2
    1
    ​
    −
    x2+y22x​cosx2+y21​.
    2
    +
    y2
    1
    ​
    =
    0
    lim⁡x→0y→02xx2+y2cos⁡1x2+y2=lim⁡x→02xcos⁡1x2\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} \frac{2x}{x^2+y^2} \cos \frac{1}{x^2+y^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2}limx→0y→0​​x2+y22x​cosx2+y21​=limx→0​x2​cosx21​
    lim⁡x→0y→02xx2+y2cos⁡1x2+y2\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} \frac{2x}{x^2+y^2} \cos \frac{1}{x^2+y^2}limx→0y→0​​x2+y22x​cosx2+y21​
    lim⁡x→0y→0fx′(x,y)\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}} f'_x(x,y)limx→0y→0​​fx′​(x,y)
    fx′(x,y)f'_x(x,y)fx′​(x,y)
    (0,0)(0,0)(0,0)
    (
    x
    ,
    y
    )
    ​
    >
    0
    ∂f(x,y)∂y<0\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} < 0∂y∂f(x,y)​<0
    f(0,0)>f(1,1)f(0,0) > f(1,1)f(0,0)>f(1,1)

    f(0,0)<f(1,1)f(0,0) < f(1,1)f(0,0)<f(1,1)

    f(0,1)>f(1,0)f(0,1) > f(1,0)f(0,1)>f(1,0)

    f(0,1)<f(1,0)f(0,1) < f(1,0)f(0,1)<f(1,0)
    0
    )]
    −
    [f(0,1)−
    f(0,0)]
    ′
    ​
    (
    0
    ,
    η
    )
    (
    0
    <
    ξ<
    1,0<
    η<
    1).
    x
    ′
    ​
    (
    ξ
    ,
    0
    )
    >
    0
    ∂f(x,y)∂y<0\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} < 0∂y∂f(x,y)​<0
    fy′(0,η)<0f'_y(0, \eta) < 0fy′​(0,η)<0
    η
    )
    >
    0,
    ∂f(x,y)
    ​
    =
    1>
    0,∂y∂f(x,y)​=
    −1<
    0
    f(0,0)=0,f(1,1)=0,f(0,1)=−1,f(1,0)=1f(0,0) = 0, f(1,1) = 0, f(0,1) = -1, f(1,0) = 1f(0,0)=0,f(1,1)=0,f(0,1)=−1,f(1,0)=1

    【考研数学高数习题】导数与微分

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    ​
    +
    Δ
    x
    ,
    y0​
    +
    Δ
    y
    )
    −
    f
    (
    x0​
    ,
    y0​
    )]
    −
    [
    fx′​
    (
    x0​
    ,
    y0​
    )
    Δ
    x
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    y
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