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9.1 二重积分的概念和性质

9.1 二重积分的概念和性质

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更新于 2026-09-23
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1. 二重积分的概念

定义 设函数 z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 在有界闭区域 DDD 上有定义，将区域 DDD 任意分成 nnn 个小闭区域 Δσ1,Δσ2,⋯ ,Δσn,\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n, 其中 表示第 个小区域，也表示它的面积。在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并求和 。记 为 个小区域 中的最大直径，如果 则称此极限值为函数 在区域 上的，记为

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Δσ1​,Δσ2​,⋯,Δσn​,
Δσi\Delta\sigma_iΔσi​
iii
Δσi\Delta\sigma_iΔσi​
(ξi,ηi)(\xi_i, \eta_i)(ξi​,ηi​)
f(ξi,ηi)Δσif(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_if(ξi​,ηi​)Δσi​
∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_ii=1∑n​f(ξi​,ηi​
λ\lambdaλ
nnn
Δσ1,Δσ2,⋯ ,Δσn\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_nΔσ1​,Δσ2​,⋯,Δσn​
lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi 存在,\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i \text{ 存在},limλ→0​∑i=1n​f(ξ
f(x,y)f(x,y)f(x,y)
DDD
二重积分
∬Df(x,y) dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi.\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i.∬D​f(x,y)dσ=limλ→0

几何意义 二重积分 ∬Df(x,y) dσ\displaystyle\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma∬D​f(x,y)dσ 是一个数。当 f(x,y)⩾0f(x,y) \geqslant 0f(x,y)⩾0 时，其值等于以区域 D 为底，以曲面 为曲顶的曲顶柱体的体积；当 时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

2. 二重积分的性质

性质 1（不等式性质）

(1) 若在 DDD 上 f(x,y)⩽g(x,y)f(x,y) \leqslant g(x,y)f(x,y)⩽g(x,y)，则 ∬Df(x,y) dσ⩽∬Dg(x,y) dσ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma \leqslant \iint_D g(x,y)\,\mathrm{d}\sigma.∬

(2) 若在 DDD 上 m⩽f(x,y)⩽Mm \leqslant f(x,y) \leqslant Mm⩽f(x,y)⩽M，则 mσ⩽∬Df(x,y) dσ⩽Mσ,其中 σ 为区域 D 的面积.m\sigma \leqslant \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma \leqslant M\sigma, \quad \text{其中 } \sigma \text{ 为区域 } D \text{ 的面积}.mσ⩽

(3) ∣∬Df(x,y) dσ∣⩽∬D∣f(x,y)∣ dσ.\left|\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma\right| \leqslant \iint_D |f(x,y)|\,\mathrm{d}\sigma.​∬D​f(x,y)dσ

性质 2（中值定理）

设函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在闭区域 DDD 上连续，σ\sigmaσ 为区域 DDD 的面积，则在 DDD 上至少存在一点 (ξ,η)(\xi, \eta)(ξ,η，使得

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    Δ
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    z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y)
    f(x,y)⩽0f(x,y) \leqslant 0f(x,y)⩽0
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    Mσ,其中 σ 为区域 D 的面积.
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    ⩽
    ∬D​∣f(x,y)∣dσ.
    )
    ∬Df(x,y) dσ=f(ξ,η)⋅σ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma.∬D​f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ.

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