9.2 二重积分的计算

(2) 先 $x$ 后 $y$. 积分区域 $D$ 可以用 $c \leqslant y \leqslant d,\; \varphi_1(y) \leqslant x \leqslant \varphi_2(y)$ 表示，

2. 利用极坐标计算

先 $r$ 后 $\theta$. 积分区域 $D$ 可以用 $\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta,\; \varphi_1(\theta) \leqslant r \leqslant \varphi_2(\theta)$ 表示，

【注】 适合用极坐标计算的二重积分的特征：

(1) 适合用极坐标计算的被积函数。例如 $f\!\left(\sqrt{x^2+y^2}\right),\; f\!\left(\dfrac{y}{x}\right),\; f\!\left(\dfrac{x}{y}\right)$.

3. 利用函数的奇偶性计算

(1) 若积分域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $x$ 有奇偶性，则： ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\{\begin{array}{ll}2{\displaystyle {\iint }_{D_{x⩾0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,}& \end{array}$

(2) 若积分域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,y)$ 关于 $y$ 有奇偶性，则 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\{\begin{array}{ll}2{\displaystyle {\iint }_{D_{y⩾0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,}& \end{array}$

4. 利用变量的轮换对称性计算

如果积分域 $D$ 具有轮换对称性，也就是关于直线 $y=x$ 对称，即 $D$ 的表达式中将 $x$ 换作 $y$，$y$ 换作 $x$，表达式不变，则

相关例题

【例 1】 交换累次积分 $\int_0^1 \mathrm{d}x \int_{x^2}^{2-x} f(x,y)\mathrm{d}y$ 的次序.

解 首先画域，$y$ 应介于 $y=x^2$ 与 $y=2-x$ 之间，$x$ 介于 $0$ 与 之间，如图 1，则

【例 2】 (2009, 数二) 设函数 $f(x,y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{d}x \int_x^2 f(x,y)\mathrm{d}y + \int_1^2 \mathrm{d}y \int_y^{4-y} f(x,y)\mathrm{d}x =$

(A) $\int_1^2 \mathrm{d}x \int_1^{4-x} f(x,y)\mathrm{d}y$. (B) . (C) . (D) .

解 $\int_1^2 \mathrm{d}x \int_x^2 f(x,y)\mathrm{d}y + \int_1^2 \mathrm{d}y \int_y^{4-y} f(x,y)\mathrm{d}x$ 的积分区域为两部分

将其写成一块 $D = \{(x,y) \mid 1 \leqslant y \leqslant 2, 1 \leqslant x \leqslant 4-y\}$，故二重积分可以表示为 . 答案应选(C).

(2) 适合用极坐标的积分域。例如 $x^2+y^2 \leqslant R^2;\quad r^2 \leqslant x^2+y^2 \leqslant R^2;\quad x^2+y^2 \leqslant 2ax;\quad x^2+y^2 \leqslant 2by.$