第四章——不定积分

一、不定积分的概念与性质

1. 原函数

定义设 $f(x)$ 在某区间 $(a,b)$ 内有定义。若存在函数 $F(x)$ ，使其在该区间内任一点都有 $F'(x)=f(x),$ 则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在该区间内的原函数。

若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在某区间内的原函数，则 $F(x)+C$ （ $C$ 为任意常数）也为 $f(x)$ 在该区间内的原函数。

若 $F(x),G(x)$ 都是 $f(x)$ 在某区间内的原函数，则 $F(x)-G(x)=C$ （ $C$ 为某个确定常数）。

2. 不定积分

定义 $f(x)$ 的原函数的全体称为 $f(x)$ 的不定积分，记为 $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x$ 。

如果 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则有

\int f(x)\mathrm{d}x = F(x)+C,

其中 $C$ 为任意常数。

3. 不定积分的几何意义

设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则从几何上看， $F(x)$ 表示平面上的一条曲线，称为

$f(x)$ 的积分曲线。因此，不定积分 $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ 在几何上表示一簇积分曲线。这簇积分曲线对应于横坐标 $x$ 处的切线都相互平行。

4. 原函数存在定理

定理若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数。

定理若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数。

【例1】 下列函数在给定区间上是否有原函数？

(1)f(x)= \begin{cases} x\sin\dfrac1x,&x\neq 0,\\[4pt] 0,&x=0. \end{cases}

(2)g(x)=\mathrm{sgn}\,x= \begin{cases} -1,&x<0,\\[4pt] 0,&x=0,\\[4pt] 1,&x>0. \end{cases}

(3)h(x)= \begin{cases} 2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\neq 0,\\[4pt] 0,&x=0. \end{cases}

解 (1) 由于 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续， $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有原函数。

(2) 由于 $g(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断点（第一类间断点）， $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上没有原函数。

事实上，若 $F(x)$ 是 $g(x)$ 的原函数，则

F(x)= \begin{cases} -x+C_1,&x<0,\\ x+C_2,&x>0. \end{cases}

由 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性知 $C_1=C_2=C$ ，

F(x)= \begin{cases} -x+C,&x<0,\\ x+C,&x\ge 0 \end{cases} =|x|+C,

但以上 $F(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，则 $g(x)$ 没有原函数。

(3) 易验证

F(x)= \begin{cases} x^2\sin\dfrac1x,&x\neq 0,\\ 0,&x=0 \end{cases}

是

h(x)= \begin{cases} 2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\neq 0,\\ 0,&x=0 \end{cases}

的原函数，即 $F'(x)=h(x)$ 。

【注】 $h(x)$ 在 $x=0$ 处不连续（第二类间断点），但 $h(x)$ 有原函数 $F(x)$ 。

5. 不定积分的性质

(1)\ \left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x),\quad \mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x.

(2)\ \int f'(x)\mathrm{d}x=f(x)+C,\quad \int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C.

不定积分运算法则

\begin{align*} (3)&\int\left[f(x)\pm g(x)\right]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm\int g(x)\mathrm{d}x.\\ (4)&\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x\ (k\text{ 为非零常数}). \end{align*}

二、不定积分基本公式

\begin{align*} (1)&\int 0\mathrm{d}x = C.\\ (2)&\int x^\alpha\mathrm{d}x=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\quad(\alpha\neq-1).\\ (3)&\int \frac1x\mathrm{d}x=\ln|x|+C.\\ (4)&\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C\quad(a>0,a\neq1).\\ (5)&\int e^x\mathrm{d}x = e^x + C.\\ (6)&\int \sin x\mathrm{d}x = -\cos x + C.\\ (7)&\int \cos x\mathrm{d}x = \sin x + C.\\ (8)&\int \sec^2 x\mathrm{d}x = \tan x + C.\\ (9)&\int \csc^2 x\mathrm{d}x = -\cot x + C.\\ (10)&\int \sec x\tan x\mathrm{d}x = \sec x + C.\\ (11)&\int \csc x\cot x\mathrm{d}x = -\csc x + C.\\ (12)&\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x = \arcsin x + C.\\ (13)&\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x = \arctan x + C.\\ (14)&\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C.\\ (15)&\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac{x}{a}+C.\\ (16)&\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.\\ (17)&\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C.\\ (18)&\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C.\\ (19)&\int \sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C.\\ (20)&\int \csc x\mathrm{d}x=-\ln|\csc x+\cot x|+C. \end{align*}

【例2】求下列不定积分

(1)\int \frac{(x+1)^3}{x^2}\mathrm{d}x.\quad (2)\int \frac{x^4-x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x.\quad (3)\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x.

解

\begin{align*} (1)\int \frac{(x+1)^3}{x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^2}\mathrm{d}x =\int\left(x+3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac12x^2+3x+3\ln|x|-\frac1x+C. \end{align*}

\begin{align*} (2)\int \frac{x^4-x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{(x^4-1)-(1+x^2)+2}{1+x^2}\mathrm{d}x =\int\left(x^2-1-1+\frac{2}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac13x^3-2x+2\arctan x+C. \end{align*}

\begin{align*} (3)\int \frac{1-\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x &=\int \frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2 x}\mathrm{d}x =\int\left(\sec^2 x-2\sec x\cdot\tan x+\tan^2 x\right)\mathrm{d}x\\ &=\tan x-2\sec x+\tan x-x+C\\ &=2\tan x-2\sec x-x+C. \end{align*}

三、三种主要积分法

1. 第一换元积分法（凑微分法）

定理设 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C,\ u=\varphi(x)$ 存在连续导数，则

\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C.

常见的凑微分形式：

\begin{align*} (1)&\int f(ax+b)\mathrm{d}x=\frac1a\int f(ax+b)\mathrm{d}(ax+b).\\ (2)&\int x^m f(ax^{m+1}+b)\mathrm{d}x=\frac1{(m+1)a}\int f(ax^{m+1}+b)\mathrm{d}(ax^{m+1}+b)\quad(m\neq-1).\\ (3)&\int f(\sqrt{x})\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\int f(\sqrt{x})\mathrm{d}(\sqrt{x}).\\ (4)&\int f(e^x)e^x\mathrm{d}x=\int f(e^x)\mathrm{d}(e^x).\\ (5)&\int f(\ln x)\frac1x\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x).\\ (6)&\int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x).\\ (7)&\int f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-\int f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x).\\ (8)&\int f(\tan x)\frac1{\cos^2 x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x).\\ (9)&\int f(\arcsin x)\frac1{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x).\\ (10)&\int f(\arctan x)\frac1{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x). \end{align*}

【例3】求下列不定积分

(1)\int \sec^4 x\mathrm{d}x.\quad (2)\int \frac{(\ln x+2)^2}{x}\mathrm{d}x.\quad (3)\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}\mathrm{d}x.\quad (4)\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\mathrm{d}x.

解

\begin{align*} (1)\int \sec^4 x\mathrm{d}x &=\int \sec^2 x\mathrm{d}(\tan x)=\int (\tan^2 x+1)\mathrm{d}(\tan x)\\ &=\frac13\tan^3 x+\tan x+C. \end{align*}

(2)\int \frac{(\ln x+2)^2}{x}\mathrm{d}x =\int (\ln x+2)^2\mathrm{d}(\ln x+2)=\frac13(\ln x+2)^3+C.

2. 第二换元积分法

定理设 $x=\varphi(t)$ 是单调的、可导的函数，并且 $\varphi'(t)\neq0$ . 又

\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C,

则

\begin{aligned} \int f(x)\mathrm{d}x&=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C \\ &=F[\varphi^{-1}(x)]+C, \end{aligned}

其中 $\varphi^{-1}(x)$ 是 $x=\varphi(t)$ 的反函数。

常用的三种变量代换：

被积函数含有 $\boldsymbol{\sqrt{a^2-x^2}}$ ，令 $x=a\sin t$ （或 $a\cos t$ ）。
被积函数含有 $\boldsymbol{\sqrt{a^2+x^2}}$ ，令 $x=a\tan t$ 。
被积函数含有 $\boldsymbol{\sqrt{x^2-a^2}}$ ，令 $x=a\sec t$ 。

【例6】 求下列不定积分，其中 $a>0$ 。

(1)\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x. \quad\quad (2)\int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}\mathrm{d}x.

(3)\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\mathrm{d}x. \quad\quad (4)\int \sqrt{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x.

解 (1) 令 $x=a\sin t$ ，

\begin{aligned} \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x &=\int \frac{a^2\sin^2 t}{a\cos t}\cdot a\cos t\mathrm{d}t =\frac{a^2}{2}\int(1-\cos2t)\mathrm{d}t \\ &=\frac{a^2}{2}\left(t-\frac12\sin2t\right)+C \\ &=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}-\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C. \end{aligned}

(2) 令 $x=a\tan t$ ，

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{a\sec t}{a^2\tan^2 t}\cdot a\sec^2 t\mathrm{d}t =\int \frac{1}{\sin^2 t\cos t}\mathrm{d}t \\ &=\int \frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin^2 t\cos t}\mathrm{d}t \\ &=\int \sec t\mathrm{d}t+\int \frac{\cos t}{\sin^2 t}\mathrm{d}t \\ &=\ln|\sec t+\tan t|-\frac{1}{\sin t}+C \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+C. \end{aligned}

或

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{x^2+a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x \\ &=\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\int \frac{a^2\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}} \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\frac12\int \frac{\mathrm{d}\left[1+\left(\frac{a}{x}\right)^2\right]}{\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}} \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}+C \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+C. \end{aligned}

(3) 令 $x=a\sec t$ ，

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\mathrm{d}x &=\int \frac{a\tan t}{a\sec t}\cdot a\sec t\tan t\mathrm{d}t =a\int \tan^2 t\mathrm{d}t \\ &=a\int (\sec^2 t-1)\mathrm{d}t =a(\tan t-t)+C \\ &=\sqrt{x^2-a^2}-a\arccos\frac{a}{x}+C. \end{aligned}

(4) 令 $t=\sqrt{1+\mathrm{e}^x}$ ，则 $x=\ln(t^2-1)$ ，

\begin{aligned} \int \sqrt{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x &=\int \frac{2t^2}{t^2-1}\mathrm{d}t =2\int\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)\mathrm{d}t =2t+\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C \\ &=2\sqrt{1+\mathrm{e}^x}+\ln\frac{\sqrt{1+\mathrm{e}^x}-1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^x}+1}+C. \end{aligned}

3. 分部积分法

(1) 分部积分公式

\int u\mathrm{d}v = uv-\int v\mathrm{d}u.

(2) 分部积分法所适用的函数类

分部积分法比较适用于两类不同函数相乘。如下列积分，这里 $p_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式。

\begin{gathered} \int p_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x,\quad \int \mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x, \\ \int \mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x. \end{gathered}

(3) 分部积分法中 $u,v$ 的选取

分部积分法在使用时的关键是 $u,v$ 的选取，换句话说就是把哪个函数凑到微分号里去。

① $\displaystyle\int p_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x,\int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x,\int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x$ ，这3种积分都应把多项式以外的函数凑进微分号。

② $\displaystyle\int \mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x,\int \mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x$ ，这2种积分把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原便可求解。

③ $\displaystyle\int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x,\int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x,\int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x$ ，这3种积分都应把多项式函数凑进微分号。

一、不定积分的概念与性质

1. 原函数

2. 不定积分

3. 不定积分的几何意义

4. 原函数存在定理

5. 不定积分的性质

不定积分运算法则

二、不定积分基本公式

【例2】求下列不定积分

三、三种主要积分法

1. 第一换元积分法（凑微分法）

【例3】求下列不定积分

2. 第二换元积分法

3. 分部积分法

(1) 分部积分公式

(2) 分部积分法所适用的函数类

(3) 分部积分法中 $u,v$ 的选取

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(3) 分部积分法中 u,vu,vu,v 的选取

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