4.1不定积分的概念与性质

若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在某区间内的原函数，则 $F(x)+C$（$C$ 为任意常数）也为 $f(x)$ 在该区间内的原函数。

若 $F(x),G(x)$ 都是 $f(x)$ 在某区间内的原函数，则 $F(x)-G(x)=C$（$C$ 为某个确定常数）。

2. 不定积分

定义 $f(x)$ 的原函数的全体称为 $f(x)$ 的不定积分，记为 $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x$。

如果 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则有

其中 $C$ 为任意常数。

3. 不定积分的几何意义

设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则从几何上看，$F(x)$ 表示平面上的一条曲线，称为

$f(x)$ 的积分曲线。因此，不定积分 $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ 在几何上表示一簇积分曲线。这簇积分曲线对应于横坐标 $x$ 处的切线都相互平行。

4. 原函数存在定理

定理 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数。

定理 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数。

【例1】 下列函数在给定区间上是否有原函数？

解 (1) 由于 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有原函数。

(2) 由于 $g(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断点（第一类间断点），$g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上没有原函数。

事实上，若 $F(x)$ 是 $g(x)$ 的原函数，则

由 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性知 $C_1=C_2=C$，

但以上 $F(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，则 $g(x)$ 没有原函数。

(3) 易验证

是

的原函数，即 $F'(x)=h(x)$。

【注】 $h(x)$ 在 $x=0$ 处不连续（第二类间断点），但 $h(x)$ 有原函数 $F(x)$。

5. 不定积分的性质

不定积分运算法则