4.3 三种主要积分法

1. 第一换元积分法（凑微分法）

定理设 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C,\ u=\varphi(x)$ 存在连续导数，则

\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi(x)]\mathrm{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C.

常见的凑微分形式：

\begin{align*} (1)&\int f(ax+b)\mathrm{d}x=\frac1a\int f(ax+b)\mathrm{d}(ax+b).\\ (2)&\int x^m f(ax^{m+1}+b)\mathrm{d}x=\frac1{(m+1)a}\int f(ax^{m+1}+b)\mathrm{d}(ax^{m+1}+b)\quad(m\neq-1).\\ (3)&\int f(\sqrt{x})\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\int f(\sqrt{x})\mathrm{d}(\sqrt{x}).\\ (4)&\int f(e^x)e^x\mathrm{d}x=\int f(e^x)\mathrm{d}(e^x).\\ (5)&\int f(\ln x)\frac1x\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x).\\ (6)&\int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x).\\ (7)&\int f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-\int f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x).\\ (8)&\int f(\tan x)\frac1{\cos^2 x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x).\\ (9)&\int f(\arcsin x)\frac1{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x).\\ (10)&\int f(\arctan x)\frac1{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x). \end{align*}

【例3】求下列不定积分

(1)\int \sec^4 x\mathrm{d}x.\quad (2)\int \frac{(\ln x+2)^2}{x}\mathrm{d}x.\quad (3)\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}\mathrm{d}x.\quad (4)\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\mathrm{d}x.

解

\begin{align*} (1)\int \sec^4 x\mathrm{d}x &=\int \sec^2 x\mathrm{d}(\tan x)=\int (\tan^2 x+1)\mathrm{d}(\tan x)\\ &=\frac13\tan^3 x+\tan x+C. \end{align*}

(2)\int \frac{(\ln x+2)^2}{x}\mathrm{d}x =\int (\ln x+2)^2\mathrm{d}(\ln x+2)=\frac13(\ln x+2)^3+C.

\begin{align*} (3)\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}\mathrm{d}x &=2\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{1+x}\mathrm{d}(\sqrt{x}) =2\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^2}\mathrm{d}(\sqrt{x}) \\ &=2\int \arctan\sqrt{x}\,\mathrm{d}(\arctan\sqrt{x}) =(\arctan\sqrt{x})^2+C. \end{align*}

\begin{align*} (4)\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\mathrm{d}x &=\int \frac{(1-x)+1}{\sqrt{3+2x-x^2}}\mathrm{d}x \\ &=\frac12\int \frac{(2-2x)}{\sqrt{3+2x-x^2}}\mathrm{d}x +\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3+2x-x^2}} \\ &=\frac12\int \frac{\mathrm{d}(3+2x-x^2)}{\sqrt{3+2x-x^2}} +\int \frac{\mathrm{d}(x-1)}{\sqrt{4-(x-1)^2}} \\ &=\sqrt{3+2x-x^2}+\arcsin\frac{x-1}{2}+C. \end{align*}

【例4】（1993，数三） $\boldsymbol{\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{d}x=\_\_\_\_\_\_}$

解：

\text{原式}=\int \frac{-\mathrm{d}\cos x}{\cos^{\frac32}x}=-\int \cos^{-\frac32}x\mathrm{d}\cos x=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C.

【例5】（1997，数二）计算积分 $\boldsymbol{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(4-x)}}=\_\_\_\_\_\_}$

解： 【方法1】

\text{原式}=\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x-2)^2}}=\arcsin\frac{x-2}{2}+C.

【方法2】

\text{原式}=\int \frac{2\mathrm{d}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{4-x}} =\int \frac{2\mathrm{d}\sqrt{x}}{\sqrt{4-(\sqrt{x})^2}} =2\arcsin\frac{\sqrt{x}}{2}+C.

不定积分结果形式不唯一，可对结果求导验证。

2. 第二换元积分法

定理设 $x=\varphi(t)$ 是单调的、可导的函数，并且 $\varphi'(t)\neq0$ . 又

\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C,

则

\begin{aligned} \int f(x)\mathrm{d}x&=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C \\ &=F[\varphi^{-1}(x)]+C, \end{aligned}

其中 $\varphi^{-1}(x)$ 是 $x=\varphi(t)$ 的反函数。

常用的三种变量代换：

被积函数含有 $\boldsymbol{\sqrt{a^2-x^2}}$ ，令 $x=a\sin t$ （或 $a\cos t$ ）。
被积函数含有 $\boldsymbol{\sqrt{a^2+x^2}}$ ，令 $x=a\tan t$ 。
被积函数含有 $\boldsymbol{\sqrt{x^2-a^2}}$ ，令 $x=a\sec t$ 。

【例6】 求下列不定积分，其中 $a>0$ 。

(1)\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x. \quad\quad (2)\int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}\mathrm{d}x.

(3)\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\mathrm{d}x. \quad\quad (4)\int \sqrt{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x.

解 (1) 令 $x=a\sin t$ ，

\begin{aligned} \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x &=\int \frac{a^2\sin^2 t}{a\cos t}\cdot a\cos t\mathrm{d}t =\frac{a^2}{2}\int(1-\cos2t)\mathrm{d}t \\ &=\frac{a^2}{2}\left(t-\frac12\sin2t\right)+C \\ &=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}-\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C. \end{aligned}

(2) 令 $x=a\tan t$ ，

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{a\sec t}{a^2\tan^2 t}\cdot a\sec^2 t\mathrm{d}t =\int \frac{1}{\sin^2 t\cos t}\mathrm{d}t \\ &=\int \frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin^2 t\cos t}\mathrm{d}t \\ &=\int \sec t\mathrm{d}t+\int \frac{\cos t}{\sin^2 t}\mathrm{d}t \\ &=\ln|\sec t+\tan t|-\frac{1}{\sin t}+C \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+C. \end{aligned}

或

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x^2}\mathrm{d}x &=\int \frac{x^2+a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x \\ &=\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\int \frac{a^2\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}} \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\frac12\int \frac{\mathrm{d}\left[1+\left(\frac{a}{x}\right)^2\right]}{\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}} \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\sqrt{1+\left(\frac{a}{x}\right)^2}+C \\ &=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)-\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}+C. \end{aligned}

(3) 令 $x=a\sec t$ ，

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\mathrm{d}x &=\int \frac{a\tan t}{a\sec t}\cdot a\sec t\tan t\mathrm{d}t =a\int \tan^2 t\mathrm{d}t \\ &=a\int (\sec^2 t-1)\mathrm{d}t =a(\tan t-t)+C \\ &=\sqrt{x^2-a^2}-a\arccos\frac{a}{x}+C. \end{aligned}

(4) 令 $t=\sqrt{1+\mathrm{e}^x}$ ，则 $x=\ln(t^2-1)$ ，

\begin{aligned} \int \sqrt{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x &=\int \frac{2t^2}{t^2-1}\mathrm{d}t =2\int\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)\mathrm{d}t =2t+\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C \\ &=2\sqrt{1+\mathrm{e}^x}+\ln\frac{\sqrt{1+\mathrm{e}^x}-1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^x}+1}+C. \end{aligned}

3. 分部积分法

(1) 分部积分公式

\int u\mathrm{d}v = uv-\int v\mathrm{d}u.

(2) 分部积分法所适用的函数类

分部积分法比较适用于两类不同函数相乘。如下列积分，这里 $p_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式。

\begin{gathered} \int p_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x,\quad \int \mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x, \\ \int \mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x,\quad \int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x. \end{gathered}

(3) 分部积分法中 $u,v$ 的选取

分部积分法在使用时的关键是 $u,v$ 的选取，换句话说就是把哪个函数凑到微分号里去。

① $\displaystyle\int p_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x,\int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x,\int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x$ ，这3种积分都应把多项式以外的函数凑进微分号。

② $\displaystyle\int \mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x,\int \mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x$ ，这2种积分把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原便可求解。

③ $\displaystyle\int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x,\int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x,\int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x$ ，这3种积分都应把多项式函数凑进微分号。

【例7】求下列不定积分

\begin{align*} (1)&\int x\mathrm e^{2x}\mathrm dx.\\ (2)&\int x^2\sin x\mathrm dx.\\ (3)&\int x\ln x\mathrm dx.\\ (4)&\int \mathrm e^x \sin^2 x\mathrm dx. \end{align*}

解

\begin{align*} (1)\int x\mathrm e^{2x}\mathrm dx &=\frac12\int x\mathrm d\mathrm e^{2x} =\frac12 x\mathrm e^{2x}-\frac12\int \mathrm e^{2x}\mathrm dx =\frac12 x\mathrm e^{2x}-\frac14\mathrm e^{2x}+C.\\[4pt] (2)\int x^2\sin x\mathrm dx &=-\int x^2\mathrm d\cos x =-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm dx =-x^2\cos x+2\int x\mathrm d\sin x\\ &=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.\\[4pt] (3)\int x\ln x\mathrm dx &=\frac12\int \ln x\mathrm d x^2 =\frac12 x^2\ln x-\int \frac12 x^2\mathrm d\ln x =\frac12 x^2\ln x-\frac12\int x\mathrm dx\\ &=\frac12 x^2\ln x-\frac14 x^2+C.\\[4pt] (4)\int \mathrm e^x \sin^2 x\mathrm dx &=\int \mathrm e^x\cdot \frac12(1-\cos 2x)\mathrm dx =\frac12\mathrm e^x-\frac12\int \mathrm e^x\cos 2x\mathrm dx,\\ &\text{而}\int \mathrm e^x\cos 2x\mathrm dx=\frac15\mathrm e^x\cos 2x+\frac25\mathrm e^x\sin 2x+C,\\ &\text{故}\int \mathrm e^x \sin^2 x\mathrm dx =\frac12\mathrm e^x-\frac1{10}\mathrm e^x\cos 2x-\frac15\mathrm e^x\sin 2x+C. \end{align*}

【例8】(1990，数三) 计算 $\displaystyle\int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\mathrm dx$ 。

解

\begin{align*} \int \frac{\ln x}{(1-x)^2}\mathrm dx &=\frac{\ln x}{1-x}-\int \frac{\mathrm dx}{x(1-x)} =\frac{\ln x}{1-x}-\int\left(\frac1x+\frac1{1-x}\right)\mathrm dx\\ &=\frac{\ln x}{1-x}+\ln\left|\frac{1-x}{x}\right|+C. \end{align*}

【例9】(1998，数二) $\displaystyle\int \frac{\ln\sin x}{\sin^2 x}\mathrm dx=\underline{\quad\quad}.$

解

\begin{align*} \int \frac{\ln\sin x}{\sin^2 x}\mathrm dx &=-\int \ln\sin x\,\mathrm d(\cot x) =-\cot x\cdot \ln\sin x+\int \cot^2 x\mathrm dx\\ &=-\cot x\cdot \ln\sin x+\int(\csc^2 x-1)\mathrm dx\\ &=-\cot x\cdot \ln\sin x-\cot x-x+C. \end{align*}

1. 第一换元积分法（凑微分法）

2. 第二换元积分法

3. 分部积分法

(1) 分部积分公式

(2) 分部积分法所适用的函数类

(3) 分部积分法中 $u,v$ 的选取

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