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导数与微分

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更新于 2026-08-25

— 584 字

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函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

若 $\boldsymbol{y=\dfrac{u}{v}}$ 其中 $u=u(x),\;v=v(x)$ 都可导，且

文章大纲

函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

举例1：y=tan⁡x=sin⁡xcos⁡xy=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}y=tanx=cosxsinx
举例2：y=xx+1y=\dfrac{x}{x+1}y=x+1x

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=

v(x)

v(x)\neq 0

\boldsymbol{\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}

口诀：上导乘下减上乘下导，除以下的平方

举例1： $y=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$u=\sin x,\;u'=\cos x$ $v=\cos x,\;v'=-\sin x$

\begin{aligned} (\tan x)'&=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}\\[4pt] &=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}\\[4pt] &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\[4pt] &=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x \end{aligned}

举例2： $y=\dfrac{x}{x+1}$

$u=x,\,u'=1;\;v=x+1,\,v'=1$

y'=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}

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更新于2026-10-02

用 AI 画教材示意图

创建于2026-09-30

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更新于2026-09-26

2

u′v−uv′

′

=

−sinx

(tan x)^{'} = \frac{( sin x ) ^{'} cos x - sin x ( cos x ) ^{'}}{cos ^{2} x} = \frac{cos x \cdot cos x - sin x ( - sin x )}{cos ^{2} x} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x} = sec^{2} x

′

=

1

x

+

1

)

−

x

⋅

1

=

(x+1)21

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举例2： $y=\dfrac{x}{x+1}$

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举例2：y=xx+1y=\dfrac{x}{x+1}y=x+1x​

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