1.14~1.15连续性的运算与性质、闭区间上连续函数的性质

【注】 所谓定义区间，是指包含在定义域内的区间。

闭区间上连续函数的性质

定理（最值定理） 设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值与最小值。
定理（有界性定理） 设 $f(x)$ 在闭区间 上连续，则 在 上必有界。 （介值定理） 设 在闭区间 上连续，且 ，则对于任意介于 与 之间的数 ，至少存在一点 ，使 。 推论 若 在 上连续，则 在 上可取到介于最小值 与最大值 之间的任何值。 （零点定理） 设 在闭区间 上连续，且 ，则至少存在一点 ，使 。

【注】 零点定理的一个重要应用就是证明方程的根的存在性。

常考题型

1. 讨论函数的连续性及间断点的类型
2. 有关闭区间上连续函数性质的证明题

【例 6】 (1997, 数二) 已知 $f(x)=\begin{cases}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}, & x\neq 0, \\ a, & x=0\end{cases}$，在 处连续，则 ______。 解 ， ， 故 。 又 ，则 时， 在 连续。

【例 9】 (2024, 数三) 设函数 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+nx^{2n}}$，则 (A) 在 处都连续。 (B) 在 处连续，在 处不连续。 (C) 在 处都不连续。 (D) 在 处不连续，在 处连续。 解 当 时，。 当 时，，这里 。 在 处，， ， ，则 在 处连续。 在 处，， ， 则 在 处不连续，故应选 (D)。 · 40 ·

【例 10】 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$a<c<d<b$。试证对任意的正数 $p,q$，至少存在一个 ，使 。 证 由题设可知， 在 上连续，则该区间上必有最小值 和最大值 。则 。 由连续函数介值定理知，至少存在一个 ，使 ， 故 。