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极限的性质

极限的性质

技术
更新于 2026-10-07
— 1317 字
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1. 有界性

（数列）如果数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 收敛，那么数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 一定有界。
【注】 反之不成立，反例为 xn=(−1)nx_n=(-1)^nx。显然，该数列有界但不收敛。由此可得有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，无界数列一定发散，但发散数列不一定无界。 （函数）若 存在，则 在 某去心邻域有界（即局部有界）。 【注】 反之不成立，反例为 ，该函数在 的去心邻域有界，但它在 处的极限 不存在。

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文章大纲

  • 1. 有界性
  • 2. 保号性
  • 3. 极限值与无穷小之间的关系
选项
文章 ID: 632

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n
​
=
(−1)n

lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0}f(x)limx→x0​​f(x)
f(x)f(x)f(x)
x0x_0x0​

f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin\frac{1}{x}f(x)=sinx1​
x=0x=0x=0
x=0x=0x=0
lim⁡x→0sin⁡1x\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}limx→0​sinx1​

2. 保号性

（数列）设 lim⁡n→∞xn=A\lim_{n \to \infty}x_n=Alimn→∞​xn​=A。
(1) 如果 A>0A>0A>0（或 A<0A<0），则存在 ，当 时，（或 ）。 (2) 如果存在 ，当 时，（或 ），则 （或 ）。 【注】 注意结论 (1) 中是严格不等号（ 或 ），(2) 中是非严格不等号（ 或 ）。 （函数）设 。 (1) 如果 （或 ），则存在 ，当 时，（或 ）。 (2) 如果存在 ，当 时，（或 ），那么 （或 ）。

3. 极限值与无穷小之间的关系

lim⁡f(x)=A⇔f(x)=A+α(x)\lim f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x)，
其中 lim⁡α(x)=0\lim \alpha(x)=0limα(x)=。

【例 5】 (1995, 数三) 设 lim⁡x→af(x)−f(a)(x−a)2=−1\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1limx→a​(x−a)2f(x)−f，则在点 处 (A) 的导数存在，且 。 (B) 取得极大值。 (C) 取得极小值。 (D) 的导数不存在。

解 【方法 1】 直接法 因为 lim⁡x→af(x)−f(a)(x−a)2=−1<0\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1<0limx→a​(x−a)2f(x)−，由极限保号性知，存在 ，当 时， 。 又因为当 时，，故 ，即 。 由极值的定义得，在点 处 取得极大值。

【方法 2】 排除法 令 f(x)=−(x−a)2f(x)=-(x-a)^2f(x)=−(x−a)2，显然 f(x)f(x)f(x) 满足题设条件，但在 x=ax=ax=a 处 可导且 ，取极大值，则选项 (A)(C)(D) 都不正确，故应选 (B)。

【例 13】 (1999, 数二) “对任意给定的 ε∈(0,1)\varepsilon \in (0,1)ε∈(0,1)，总存在正整数 NNN，当 n⩾Nn \geqslant Nn⩾N 时，恒有 ∣xn−a∣⩽2ε|x_n - a| \leqslant 2\varepsilon∣xn” 是数列 收敛于 的 (A) 充分条件但非必要条件。 (B) 必要条件但非充分条件。 (C) 充分必要条件。 (D) 既非必要也非充分条件。

解 由数列极限定义知，如果数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 收敛于 aaa，则对于任意给定的 ε>0\varepsilon > 0ε>0，总存在正整数 NNN，当 n>Nn > Nn> 时，恒有 成立。由于 ，故必有 。 如果对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 。由于 的任意性，则对于任意给定的 ，取 ，当 时，恒有 。 由数列极限定义知，数列 收敛于 ，故应选 (C)。

【例 14】 (2015, 数三) 设 {xn}\{x_n\}{xn​} 是数列，下列命题中不正确的是
(A) 若 lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n = alimn→∞​xn​=，则 。 (B) 若 ，则 。 (C) 若 ，则 。 (D) 若 ，则 。

解 (D) 选项的命题不正确，例如 x3n=x3n+1=1x_{3n} = x_{3n+1} = 1x3n​=x3n+1​=1，而 x3n+2=0x_{3n+2} = 0x。 显然 ，而 ，则 不存在。

【例 15】 (2022, 数一，数二) 已知数列 {xn}\{x_n\}{xn​}，其中 −π2⩽xn⩽π2-\frac{\pi}{2} \leqslant x_n \leqslant \frac{\pi}{2}−2π​⩽x，则 (A) 当 存在时， 存在。 (B) 当 存在时， 存在。 (C) 当 存在时， 存在，但 不一定存在。 (D) 当 存在时， 存在，但 不一定存在。

解 【方法 1】 直接法 由于 sin⁡x\sin xsinx 在 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][−2π​,2π​] 上单调、连续，则当 时，若 存在，必有 存在。但 ，而 不存在。 存在时， 不一定存在。由此可知选 (D)。 【方法 2】 排除法 取 ，则排除 (A)(B)(C)，故应选 (D)。

【例 16】 (1993, 数三) 当 x→0x \to 0x→0 时，变量 1x2sin⁡1x\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}x21​sinx 是 (A) 无穷小。 (B) 无穷大。 (C) 有界的，但不是无穷小。 (D) 无界的，但不是无穷大。

解 对任意给定的 M>0M > 0M>0 及 δ>0\delta > 0δ>0，总存在
xn=12nπ+π2,yn=12nπx_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, y_n = \frac{1}{2n\pi}xn​=， 使得 ，此时 ， 则当 时，变量 是无界的，但不是无穷大。选 (D)。

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    • A
    <
    0
    N>0N>0N>0
    n>Nn>Nn>N
    xn>0x_n>0xn​>0
    xn<0x_n<0xn​<0

    N>0N>0N>0
    n>Nn>Nn>N
    xn⩾0x_n \geqslant 0xn​⩾0
    xn⩽0x_n \leqslant 0xn​⩽0
    A⩾0A \geqslant 0A⩾0
    A⩽0A \leqslant 0A⩽0

    >>>
    <<<
    ⩾\geqslant⩾
    ⩽\leqslant⩽

    lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0}f(x)=Alimx→x0​​f(x)=A

    A>0A>0A>0
    A<0A<0A<0
    δ>0\delta>0δ>0
    x∈U˚(x0,δ)x \in \mathring{U}(x_0, \delta)x∈U˚(x0​,δ)
    f(x)>0f(x)>0f(x)>0
    f(x)<0f(x)<0f(x)<0

    δ>0\delta>0δ>0
    x∈U˚(x0,δ)x \in \mathring{U}(x_0, \delta)x∈U˚(x0​,δ)
    f(x)⩾0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0
    f(x)⩽0f(x) \leqslant 0f(x)⩽0
    A⩾0A \geqslant 0A⩾0
    A⩽0A \leqslant 0A⩽0
    0
    (
    a
    )
    ​
    =
    −1
    x=ax=ax=a

    f(x)f(x)f(x)
    f′(a)≠0f'(a) \neq 0f′(a)=0

    f(x)f(x)f(x)

    f(x)f(x)f(x)

    f(x)f(x)f(x)
    f
    (
    a
    )
    ​
    =
    −1<
    0
    δ>0\delta>0δ>0
    x∈U˚(a,δ)x \in \mathring{U}(a, \delta)x∈U˚(a,δ)

    f(x)−f(a)(x−a)2<0\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}<0(x−a)2f(x)−f(a)​<0

    x∈U˚(a,δ)x \in \mathring{U}(a, \delta)x∈U˚(a,δ)
    (x−a)2>0(x-a)^2>0(x−a)2>0
    f(x)−f(a)<0f(x)-f(a)<0f(x)−f(a)<0

    f(x)<f(a)f(x)<f(a)f(x)<f(a)

    x=ax=ax=a
    f(x)f(x)f(x)
    f(x)f(x)
    f(x)
    f′(a)=0f'(a)=0f′(a)=0
    ​
    −
    a∣⩽
    2ε
    {xn}\{x_n\}{xn​}
    aaa




    N
    ∣xn−a∣<ε|x_n - a| < \varepsilon∣xn​−a∣<ε
    ε<2ε\varepsilon < 2\varepsilonε<2ε
    ∣xn−a∣⩽2ε|x_n - a| \leqslant 2\varepsilon∣xn​−a∣⩽2ε

    ε∈(0,1)\varepsilon \in (0,1)ε∈(0,1)
    NNN
    n⩾Nn \geqslant Nn⩾N
    ∣xn−a∣⩽2ε|x_n - a| \leqslant 2\varepsilon∣xn​−a∣⩽2ε
    ε\varepsilonε
    ε1>0\varepsilon_1 > 0ε1​>0
    ε=ε13\varepsilon = \frac{\varepsilon_1}{3}ε=3ε1​​
    n⩾Nn \geqslant Nn⩾N

    ∣xn−a∣⩽2ε=2ε13<ε1|x_n - a| \leqslant 2\varepsilon = \frac{2\varepsilon_1}{3} < \varepsilon_1∣xn​−a∣⩽2ε=32ε1​​<ε1​

    {xn}\{x_n\}{xn​}
    aaa
    a
    lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a\lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = alimn→∞​x2n​=limn→∞​x2n+1​=a

    lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a\lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = alimn→∞​x2n​=limn→∞​x2n+1​=a
    lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n = alimn→∞​xn​=a

    lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n = alimn→∞​xn​=a
    lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=a\lim_{n \to \infty} x_{3n} = \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = alimn→∞​x3n​=limn→∞​x3n+1​=a

    lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=a\lim_{n \to \infty} x_{3n} = \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = alimn→∞​x3n​=limn→∞​x3n+1​=a
    lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n = alimn→∞​xn​=a
    3n+2
    ​
    =
    0

    lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=1\lim_{n \to \infty} x_{3n} = \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = 1limn→∞​x3n​=limn→∞​x3n+1​=1
    lim⁡n→∞x3n+2=0\lim_{n \to \infty} x_{3n+2} = 0limn→∞​x3n+2​=0
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​
    n
    ​
    ⩽
    2π​

    lim⁡n→∞cos⁡(sin⁡xn)\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)limn→∞​cos(sinxn​)
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​

    lim⁡n→∞sin⁡(cos⁡xn)\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)limn→∞​sin(cosxn​)
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​

    lim⁡n→∞cos⁡(sin⁡xn)\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n)limn→∞​cos(sinxn​)
    lim⁡n→∞sin⁡xn\lim_{n \to \infty} \sin x_nlimn→∞​sinxn​
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​

    lim⁡n→∞sin⁡(cos⁡xn)\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n)limn→∞​sin(cosxn​)
    lim⁡n→∞cos⁡xn\lim_{n \to \infty} \cos x_nlimn→∞​cosxn​
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​
    −π2⩽xn⩽π2-\frac{\pi}{2} \leqslant x_n \leqslant \frac{\pi}{2}−2π​⩽xn​⩽2π​
    lim⁡n→∞sin⁡xn\lim_{n \to \infty} \sin x_nlimn→∞​sinxn​
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​
    lim⁡n→∞cos⁡(−1)nπ2=0\lim_{n \to \infty} \cos \frac{(-1)^n \pi}{2} = 0limn→∞​cos2(−1)nπ​=0
    lim⁡n→∞(−1)nπ2\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n \pi}{2}limn→∞​2(−1)nπ​
    lim⁡n→∞cos⁡xn\lim_{n \to \infty} \cos x_nlimn→∞​cosxn​
    lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_nlimn→∞​xn​

    xn=(−1)nπ2x_n = (-1)^n \frac{\pi}{2}xn​=(−1)n2π​
    1
    ​




    2nπ+2π​1​
    ,
    yn​
    =
    2nπ1​

    0<xn<δ,0<yn<δ0 < x_n < \delta, 0 < y_n < \delta0<xn​<δ,0<yn​<δ

    ∣1xn2sin⁡1xn∣=(2nπ+π2)2>M,1yn2sin⁡1yn=0\left| \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n} \right| = \left( 2n\pi + \frac{\pi}{2} \right)^2 > M, \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n} = 0​xn2​1​sinxn​1​​=(2nπ+2π​)2>M,yn2​1​sinyn​0

    x→0x \to 0x→0
    1x2sin⁡1x\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}x21​sinx1​
    1
    ​
    =