【考研数学高数习题】函数与极限

A. $g(x)<h(x)<f(x)$
B. $h(x)<g(x)<f(x)$ C. D.

$x\to+\infty$ ：$\ln^\beta x \ll x^\alpha(\alpha>0) \ll a^x(a>1) \ll x^x$ ：

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(2022，数一、二)已知数列$\{x_n\}$，其中$-\dfrac{\pi}{2}\le x_n \le \dfrac{\pi}{2}$，则（）

A. 当$\lim\limits_{n\to\infty}\cos(\sin x_n)$存在时，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$存在 B. 当存在时，存在 C. 当存在时，存在，但不一定存在 D. 当存在时，存在，但不一定存在

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(2016，数三)已知函数$f(x)$满足$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+f(x)\sin2x}-1}{e^{3x}-1}=2$，则。

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(2006，数二) 求极限

题三

(2018，数三)已知实数$a,b$满足$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left[(ax+b)e^{\frac{1}{x}}-x\right]=2$，求。

题四

求极限 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}+c^{\frac{1}{n}}}{3}\right)^n$，。

题 n

(2008，数四)设$0<a<b$，则$\lim\limits_{n \to \infty}\left(a^{-n}+b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}=(\quad)$ A. B. C. D.

题n

求$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big(x+\sqrt{1+x^2}\big)^{\frac{1}{x}}$

题 n

求 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + x^n + \left(\frac{x^2}{2}\right)^n}\quad (x>0)$

题目

设 $x_1>0$，$x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac{1}{x_n}\right),\ n=1,2,\cdots$，求极限 。

由 $x_1>0$，递推式可知所有 $x_n>0$，根据均值不等式 $x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n+{\displaystyle \frac{1}{x_n}})\ge \sqrt{x_n}$，即数列下界为 ；又 ，故 单调递减，由单调有界定理知 存在，设极限为 ，对递推式两边取极限得 ，整理得 ，，结合 舍去负根，得 ，因此 。

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写出完整题目和标准答案，注意，标准答案是不可能像豆包那样拆解各种标题的，就给我一段完整的求解而已，不要啰嗦

1. 正向：$x_n$ 收敛 $\Rightarrow f(x_n)$ 收敛；
2. 反向：靠反函数来证明： $f$ 严格单调连续 $\Rightarrow$ 存在连续严格单调反函数 $f^{-1}$； 若 $f(x_n)$ 收敛，对两边套 $f^{-1}$： $x_n = f^{-1}\big(f(x_n)\big)$ 由连续函数复合极限，$x_n$ 必收敛。

对于此题，思路是构造出极限不存在的 $x_n$ ，但复合函数极限存在。

约去$x(x\neq0)$：

答案：$\boldsymbol{6}$

见 极限存在准则 两个重要极限

分母趋于0，分子极限必为0，代入$t=0$得$a-1=0$，$a=1$。
代入$a=1$，$e^t=1+t+o(t)$，

解得$b=1$，即$a=1,b=1$。

记 $L= \lim_{x\to0^+}\ln\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac1x}=\lim_{x\to0^+}\frac1x\ln\frac{a^x+b^x+c^x}{3}$ ，
则由 $a^x=e^{x\ln a}=1+x\ln a+o(x)$，

原极限 $=e^L=\sqrt[3]{abc}$。

见 极限存在准则 两个重要极限

因$\dfrac{b}{a}>1$，$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{b}{a}\right)^n=+\infty$，夹逼得$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}\le\lim\limits_{n \to \infty}\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^n+1\right)^{\frac{1}{n}}\le\lim\limits_{n \to \infty}\left(2\cdot\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}$，即$\dfrac{b}{a}\le\lim\limits_{n \to \infty}\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^n+1\right)^{\frac{1}{n}}\le\dfrac{b}{a}\cdot\lim\limits_{n \to \infty}2^{\frac{1}{n}}=\dfrac{b}{a}$，故$\lim\limits_{n \to \infty}\left(\left(\dfrac{b}{a}\right)^n+1\right)^{\frac{1}{n}}=\dfrac{b}{a}$，代入得原式$=\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{a}=a^{-1}$，答案选B。

因 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=1$，故原式$=A=\max\left\{1,x,\dfrac{x^2}{2}\right\}$。 解方程划分区间：

1. 当 $0<x<1$ 时，$\max\left\{1,x,\dfrac{x^2}{2}\right\}=1$，极限为$1$；
2. 当 $1\le x<2$ 时，$\max\left\{1,x,\dfrac{x^2}{2}\right\}=x$，极限为；
3. 当 $x=2$ 时，$\max\left\{1,2,\dfrac{4}{2}\right\}=2$，极限为$2$；
4. 当 $x>2$ 时，$\max\left\{1,x,\dfrac{x^2}{2}\right\}=\dfrac{x^2}{2}$，极限为。 综上

更新于2026-08-25