题目

(2016，数三)已知函数$f(x)$满足$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+f(x)\sin2x}-1}{e^{3x}-1}=2$，则$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=\underline{\quad\quad}$。

解题步骤

步骤1：使用等价无穷小替换（$x\to0$时）

常用等价无穷小：

1. $\sqrt{1+u}-1 \sim \dfrac{1}{2}u \quad(u\to0)$
2. $e^t-1 \sim t \quad(t\to0)$
3. $\sin ax \sim ax$

当$x\to0$： $\sin2x\sim 2x$，$e^{3x}-1\sim 3x$ 分子$\sqrt{1+f(x)\sin2x}-1 \sim \dfrac{1}{2}f(x)\sin2x \sim \dfrac{1}{2}f(x)\cdot 2x=x\cdot f(x)$

步骤2：代入原式化简极限

原式等价为：

约去$x(x\neq0)$：

步骤3：求解$\lim\limits_{x\to0}f(x)$

答案：$\boldsymbol{6}$