【考研数学高数习题】导数与微分

补充思路说明
导数定义：$f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
令 $h_1=-2x,\ h_2=-x$，拆分分子：

代入后同除 $x$ 配凑标准导数形式，求出分母整体极限为 $1$，原式是其倒数，结果为 $1$。

补充：完整推导步骤（便于理解）

1. 隐函数两边对 $x$ 求导，链式法则处理含 $y$ 项：

2. 把含 $y'$ 的项移到一侧，其余项移到另一侧：

3. 左侧提取公因子 $y'$，再除法得到导数：

补充原理 基础公式：$(\sin t)^{(n)} = \sin\left(t + \dfrac{n\pi}{2}\right)$ 复合函数 $y=\sin(ax)$ 求 $n$ 阶导，每次求导多出系数 $a$，$n$ 次求导即乘 $a^n$，因此：

本题 $a=3$，直接代入得到结果。