导数与微分题目

（1993，数三）函数 $y = y(x)$ 由方程 $\sin(x^2 + y^2) + e^x - xy^2 = 0$ 所确定，则 $\frac{dy}{dx} = \underline{\qquad\qquad}.$

解：

方程两边同时对 $x$ 求导：

\cos(x^2 + y^2)\cdot(2x + 2yy') + e^x - y^2 - 2xyy' = 0,

整理解出 $y'$ ：

\frac{dy}{dx} = y' = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}.

\begin{align*} \frac{d}{dx}\big[\sin(x^2+y^2)\big] + \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(xy^2) &= 0 \\ \cos(x^2+y^2)\cdot(2x + 2y\cdot y') + e^x - \big(y^2 + x\cdot 2y\cdot y'\big) &= 0 \end{align*}

2y\cos(x^2+y^2)\cdot y' - 2xy\cdot y' = y^2 - e^x - 2x\cos(x^2+y^2)

y'\cdot\big[2y\cos(x^2+y^2)-2xy\big] = y^2 - e^x - 2x\cos(x^2+y^2)

\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}

（1993，数三）函数 $y = y(x)$ 由方程 $\sin(x^2 + y^2) + e^x - xy^2 = 0$ 所确定，则 $\frac{dy}{dx} = \underline{\qquad\qquad}.$

解：

方程两边同时对 $x$ 求导：

\cos(x^2 + y^2)\cdot(2x + 2yy') + e^x - y^2 - 2xyy' = 0,

整理解出 $y'$ ：

\frac{dy}{dx} = y' = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}.

\begin{align*} \frac{d}{dx}\big[\sin(x^2+y^2)\big] + \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(xy^2) &= 0 \\ \cos(x^2+y^2)\cdot(2x + 2y\cdot y') + e^x - \big(y^2 + x\cdot 2y\cdot y'\big) &= 0 \end{align*}

2y\cos(x^2+y^2)\cdot y' - 2xy\cdot y' = y^2 - e^x - 2x\cos(x^2+y^2)

y'\cdot\big[2y\cos(x^2+y^2)-2xy\big] = y^2 - e^x - 2x\cos(x^2+y^2)

\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - e^x - 2x\cos(x^2 + y^2)}{2y\cos(x^2 + y^2) - 2xy}