函数与极限

极限定义

$x \to x_0$ 时函数极限 ε-δ 定义：

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A：$

$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，
当 $0<|x - x_0| < \delta$ ，
恒有 $|f(x)-A| < \varepsilon$

理解：

1. 随便你指定一个极小的误差标准 $\varepsilon$（你想多小就多小）；
2. 我总能找到一段离 $x_0$ 很近的范围，用 $\delta$ 表示这段距离；
3. 只要自变量 $x$ 落在这段范围里（不等于 $x_0$ 本身）；
4. 对应的函数值 $f(x)$和常数 $A$ 的差值，一定小于误差 $\varepsilon$；
5. 满足上面这条，我们就说：x 无限靠近 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限是 $A$。

无穷小与无穷大

无穷小

若 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小量； 同理可定义 $x\to\infty,\,x\to0,\,x\to x_0^+,\,x\to x_0^-$ 等情形的无穷小。

无穷小不是很小的数，是以0为极限的变量；唯一常数无穷小是 $0$。

极限与无穷小的关系定理：

$\lim f(x)=A \iff f(x)=A+\alpha(x),\quad \alpha(x)\to0$

函数 $f(x)$ 在某一极限过程下极限为 $A$ 的充要条件是：函数可以表示为常数 $A$ 与同一过程下无穷小量之和。

无穷小阶的比较

设 $\alpha(x),\beta(x)$ 均为 $x\to0$ 无穷小：

1. $\displaystyle\lim\frac{\alpha}{\beta}=0$：$\alpha$ 是 $\beta$ 高阶无穷小，记 $\alpha=o(\beta)$
2. $\displaystyle\lim\frac{\alpha}{\beta}=C\neq0$：$\alpha,\beta$ 同阶无穷小；$C=1$ 称等价无穷小，记 $\alpha\sim\beta$
3. $\displaystyle\lim\frac{\alpha}{\beta}=\infty$：$\alpha$ 是 $\beta$ 低阶无穷小
4. $\displaystyle\lim\frac{\alpha}{x^k}=C\neq0$：$\alpha$ 是 $k$ 阶无穷小

等价无穷小常用替换

常用等价无穷小共有 16 个（9+3+4）

⚠️ 仅乘除可直接替换，加减一般不能随便替换。

无穷小运算法则

1. 有限个无穷小的和、积仍是无穷小；
2. 有界变量 × 无穷小 = 无穷小；
3. 无穷小除以极限不为0的函数，仍为无穷小。

大O、小o记号

• $o(x^n)$：$x\to0$ 时比 $x^n$ 高阶无穷小，$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{o(x^n)}{x^n}=0$
• $O(x^n)$：$x\to0$ 时不超过 $x^n$ 阶的有界量

无穷大

定义（$x\to x_0$ 时 $f(x)$ 为无穷大） $\forall M>0,\ \exists \delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)|>M$，记： $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ 细分：

• 正无穷大：$f(x)>M$，$\lim f(x)=+\infty$
• 负无穷大：$f(x)<-M$，$\lim f(x)=-\infty$

无穷大量与无界量的关系：

• 数列$\{x_n\}$是无穷大量 $\forall M>0,\exists N>0$，当所有$n>N$时，都满足$|x_n|>M$。 含义：下标足够大之后，后面所有项整体冲破任意大的正数$M$。

• 数列$\{x_n\}$是无界量 $\forall M>0,\exists$某一项$x_N$，使得$|x_N|>M$。 含义：数列里至少存在一项可以突破$M$，不需要后面全部项都满足。

1. 无穷大一定无界；无界不一定无穷大
2. 反例：$f(x)=x\sin x$，$x\to\infty$ 取 $x=2k\pi$，$f=0$；取 $x=2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$f=2k\pi+\frac{\pi}{2}\to\infty$ 函数可以无限大，但又不断回到0，无界但不是无穷大

证明：数列

是无界量，但不是无穷大量

证明：

1. 证$\{x_n\}$为无界量 $\forall M>0$，取奇数$n=2[M]+1$，则$x_n=2[M]+1>M$，由无界定义，$\{x_n\}$无界。

2. 证$\{x_n\}$不是无穷大量 取$M_0=1$，$\forall N\in\mathbb{N}_+$，总存在偶数$n>N$，使$x_n=0<1$，不满足无穷大定义，故不是无穷大量。

综上，该数列是无界量但不是无穷大量。

无穷大与无穷小的倒数关系

1. 若 $\lim f(x)=\infty \iff \lim \dfrac{1}{f(x)}=0$（$f(x)\neq 0$）
2. 推论：
   • 非零无穷小的倒数 = 无穷大
   • 无穷大的倒数 = 无穷小

例：$\lim\limits_{x\to 0}x=0$，则 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}=\infty$

无穷大量的性质

四则运算法则

确定型运算：

1. 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量 $\infty \pm$ 有界函数 $=\infty$
2. 无穷大量与非零常数乘积仍为无穷大量 $\infty \times C\ (C\neq0)=\infty$；$C>0$ 符号不变，$C<0$ 变号
3. 两个无穷大量的积仍为无穷大量 $\infty \times \infty=\infty$
4. $\dfrac{\text{有界非零量}}{\text{无穷小}}=\infty$

不能写 $\infty-\infty=0$、$\dfrac{\infty}{\infty}=1$，无穷大不是实数，不能常规加减乘除。

无穷大的阶

设 $f(x),g(x)$ 均为 $x\to\square$ 下无穷大：

1. $\lim\dfrac{f}{g}=0$：$f$ 是比 $g$ 低阶无穷大，$g$ 增长更快
2. $\lim\dfrac{f}{g}=C\neq0$：同阶无穷大；$C=1$ 等价无穷大
3. $\lim\dfrac{f}{g}=\infty$：$f$ 是比 $g$ 高阶无穷大

常用无穷大增长速度排序

$x\to+\infty$ 从慢到快： $\ln x \ll x^\alpha\ (\alpha>0) \ll a^x\ (a>1) \ll x! \ll x^x$ 举例： $\ln x,\sqrt{x},x,x^2,2^x,3^x,x!$ 分子分母只保留最高阶就是极限结果（抓大头法则）

例： $\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+2x-\ln x}{5x^2-x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}$

等价无穷大替换规则

1. 若 $f\sim g\ (\infty)$，则 $\dfrac{f}{h}\sim\dfrac{g}{h},\ fh\sim gh$
2. 加减不能直接等价替换无穷大，会出错
3. 常用等价无穷大（$x\to\infty$）

• $x+a \sim x$
• $\sqrt{x^2+x}\sim |x|$
• $a^x+a^{kx}\sim a^{\max(1,k)x}\ (a>1)$

垂直渐近线

（无穷大几何应用） 若 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$ 为垂直渐近线 找法：

1. 分式分母零点；2. $\tan x,\sec x$ 间断点；3. $\ln u$ 中 $u\to0$ 的点

例：$f(x)=\dfrac{1}{x-1}$，$x\to1$ 趋于无穷，垂直渐近线 $x=1$

数列无穷大要点

1. 数列 $x_n\to\infty$：$\forall M>0,\exists N$，$n>N$ 时 $|x_n|>M$
2. 子列性质：数列趋于无穷 $\iff$ 所有子列都趋于无穷； 若存在一个子列有界，则原数列不是无穷大
3. 单调无界数列一定是无穷大

经典易错题型总结

1. 判断无界/无穷大：$x\sin x,\ x\cos x$ 典型反例
2. $\infty-\infty$ 型极限：根式差、分式差通分
3. $\dfrac{\infty}{\infty}$ 抓大头，利用无穷大阶的速度比较
4. 无穷大倒数转化为无穷小计算
5. 结合渐近线、间断点考无穷大判断
6. 级数判别：正项级数比较判别法本质就是无穷大/无穷小阶的比较

配套核心结论速记

1. 有界量 ± ∞ = ∞
2. 非零常数 × ∞ = ∞
3. ∞ × ∞ = ∞
4. $\dfrac{\text{有界}}{\text{无穷小}}=\infty,\ \dfrac{\text{无穷小}}{\text{无穷大}}=0$
5. 无穷大无四则封闭性，三种不定式必须变形
6. 增长速度：对数 < 幂函数 < 指数 < 阶乘
7. 无穷大 ⇔ 倒数为无穷小

六种计算手法

1. 等价无穷小替换

注意 arctanx 和 arcsinx 图像

$1-cos(x)$ 的记忆： $cos(x)$ 和 $\frac{x^2}{3}$ 的图像在接近 0 处朝向是反的，于是 $cos(x)$ 系数为 -1，且需要加上 1

基本极限

• $\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$
• $\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$
• $\lim_{x\to0}x^x=1$
• $\lim_{x\to0}xlnx=0$

(▢使得式子满足$1^{\infty}$) 时： $\lim_{x\to▢}>[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^{lim_{x\to▢}\alpha(x)\beta(x)}$

$\lim_{n\to\infty}x^n= \begin{cases} 0, & |x| < 1 \\ \infty, & |x| > 1 \\ 1, & x=1 \\ 不存在, & x=-1 \end{cases}$

$\lim_{n\to\infty}e^{nx}= \begin{cases} 0, & x < 0 \\ +\infty, & x > 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$

例题：

1. $\lim_{x\to1}x^\frac{3}{lnx} = e^{\lim_{x\to1}(x-1)\frac{3}{lnx}} =e^3$
2. $\lim_{x\to\infty}(\frac{1+2^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}}{3})^x\\=e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{2^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}-2}{3})x}}\\=e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{\frac{1}{x}ln2+\frac{1}{x}ln3}{3})x}}\\=e^{\frac{ln2+ln3}{3}}\\=e^{\frac{ln6}{3}}\\=e^{ln6^\frac{1}{3}}\\=6^{\frac{1}{3}}$

$e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{2^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}-2}{3})x}}=e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{\frac{1}{x}ln2+\frac{1}{x}ln3}{3})x}}$ 中可以在两个加数使用等价无穷小替换使用是因为替换后两边都存在

解题连招

使用等价无穷小求极限：

• 乘除整体可使用等价无穷小替换
• 非零整体可使用 0 带 x
• 哑铃形式提出等价替换项
• 两项相减凑中间

极限存在准则 两个重要极限

$\boldsymbol{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\dots+a_k^n}} = \max\{a_1,a_2,\dots,a_k\},a_i>0$ ，即：极限为底数里最大那个数。 例子：

证明过程：

设$M=\max\{a_1,a_2,\dots,a_k\},a_i>0$

重要极限 $1^\infty$ 型通用公式

两个基础标准形式：

1. $\lim_{x\to 0}\,(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
2. $\lim_{x\to \infty}\,\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

$1^\infty$ 未定式通用推广公式（$1^\infty$ 万能公式）：

若在同一极限过程下，满足：$\alpha(x) \to 0,\quad \beta(x)\to \infty$ ，则 $\lim (1+\alpha)^\beta = e^{\,\lim \alpha\beta}$ 推导过程：

连续函数的运算与初等函数的连续性

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