极限 | 花野猫的数字花园

七种未定式

$\frac{0}{0}$ 、 $\frac{\infty}{\infty}$ 、 $0·\infty$ 、 $\infty-\infty$ 、 $1^\infty$ 、 $0^0$ 、 $\infty^0$

注意没有 $\infty^\infty$

$\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 易处理，故可将后面几种转换为前两种：

原型	转换后	例子
$0·\infty$	$0·\frac{1}{0}$ 或 $\frac{1}{\infty}·\infty$	$\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0^+}-x=0$
$\infty -\infty$	$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$	$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\arctan(x)}$ 通分后得 -3
$1^\infty$ 、 $0^0$ 、 $\infty^0$	$e^{0·\infty}$ ( $a^b=e^{b\ln(a)}$ )	$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{3}{\ln(1+x)}}$ 得 $e^3$

注意： $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)$ 这样幂函数乘以对数函数的情况，对数函数增长得慢，极限为 0

例&结论：

\lim_{x\to0^+}x^{\sin(x)} = \lim_{x\to0^+}e^{x\ln(sinx)} = e^0=1

\lim_{x\to0^+}x^{x} = \lim_{x\to0^+}e^{x\ln(x)} = e^0=1

六种计算手法

等价无穷小替换

注意 arctanx 和 arcsinx 图像

常用等价无穷小共有 16 个（9+3+4）


$nx$	$\sin(x)\sim x$ 、 $\tan(x)\sim x$ 、 $\arcsin(x)\sim x$ 、 $\arctan{x}\sim x$ 、 $\ln(1+x)\sim x$ 、 $e^{x}-1\sim x$ 、 $a^{x}-1\sim x\ln{a}$ $(1+x)^a-1 \sim ax$ 、 $\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x$
$\frac{x^2}{n}$	$1-cos(x) \sim \frac{x^2}{2}$ 、 $x-ln(1+x) \sim \frac{x^2}{2}$ 、 $e^x-1-x \sim \frac{x^2}{2}$
$\frac{x^3}{n}$	$x-arctan(x) \sim \frac{x^3}{3}$ 、 $tan(x)-x \sim \frac{x^3}{3}$ 、 $x-sin(x) \sim \frac{x^3}{6}$ 、 $arcsin(x)-x \sim \frac{x^3}{6}$

$1-cos(x)$ 的记忆： $cos(x)$ 和 $\frac{x^2}{3}$ 的图像在接近 0 处朝向是反的，于是 $cos(x)$ 系数为 -1，且需要加上 1

基本极限

$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$
$\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$
$\lim_{x\to0}x^x=1$
$\lim_{x\to0}xlnx=0$

(▢使得式子满足 $1^{\infty}$ ) 时： $\lim_{x\to▢}>[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^{lim_{x\to▢}\alpha(x)\beta(x)}$

$\lim_{n\to\infty}x^n= \begin{cases} 0, & |x| < 1 \\ \infty, & |x| > 1 \\ 1, & x=1 \\ 不存在, & x=-1 \end{cases}$

$\lim_{n\to\infty}e^{nx}= \begin{cases} 0, & x < 0 \\ +\infty, & x > 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$

例题：

$\lim_{x\to1}x^\frac{3}{lnx} = e^{\lim_{x\to1}(x-1)\frac{3}{lnx}} =e^3$
$\lim_{x\to\infty}(\frac{1+2^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}}{3})^x\\=e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{2^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}-2}{3})x}}\\=e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{\frac{1}{x}ln2+\frac{1}{x}ln3}{3})x}}\\=e^{\frac{ln2+ln3}{3}}\\=e^{\frac{ln6}{3}}\\=e^{ln6^\frac{1}{3}}\\=6^{\frac{1}{3}}$

$e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{2^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}-2}{3})x}}=e^{\lim_{x\to\infty}{(\frac{\frac{1}{x}ln2+\frac{1}{x}ln3}{3})x}}$ 中可以在两个加数使用等价无穷小替换使用是因为替换后两边都存在

解题连招

	结果	解释
存在+存在	一定存在	数+数=数
存在+-不存在	一定都不存在	数+无穷或变都为无穷或变
不存在+-不存在	不可能都存在	两个同一无穷相减得到 0，相加则为无穷
存在*存在	一定存在	数乘数得数
存在*不存在	未定	0*∞是未定的、xsin1/x
不存在*不存在	未定	$\lim_{x \to 0} xsin\frac{{1}}{{x}} = 1$

使用等价无穷小求极限：

乘除整体可使用等价无穷小替换
非零整体可使用 0 带 x
哑铃形式提出等价替换项
两项相减凑中间

原型

转换后

例子

0·\infty

0·\frac{1}{0}

或

\frac{1}{\infty}·\infty

\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0^+}-x=0

\infty -\infty

\frac{0}{0}

或

\frac{\infty}{\infty}

\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\arctan(x)}

通分后得 -3

1^\infty

、

0^0

、

\infty^0

e^{0·\infty}

(

a^b=e^{b\ln(a)}

)

\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{3}{\ln(1+x)}}

得

e^3

nx

\sin(x)\sim x

、

\tan(x)\sim x

、

\arcsin(x)\sim x

、

\arctan{x}\sim x

、

\ln(1+x)\sim x

、

e^{x}-1\sim x

、

a^{x}-1\sim x\ln{a}

(1+x)^a-1 \sim ax

、

\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x

\frac{x^2}{n}

1-cos(x) \sim \frac{x^2}{2}

、

x-ln(1+x) \sim \frac{x^2}{2}

、

e^x-1-x \sim \frac{x^2}{2}

\frac{x^3}{n}

x-arctan(x) \sim \frac{x^3}{3}

、

tan(x)-x \sim \frac{x^3}{3}

、

x-sin(x) \sim \frac{x^3}{6}

、

arcsin(x)-x \sim \frac{x^3}{6}

解题连招

结果

解释

存在+存在

一定存在

数+数=数

存在+-不存在

一定都不存在

数+无穷或变都为无穷或变

不存在+-不存在

不可能都存在

两个同一无穷相减得到 0，相加则为无穷

存在*存在

一定存在

数乘数得数

存在*不存在

未定

0*∞是未定的、xsin1/x

不存在*不存在

未定

\lim_{x \to 0} xsin\frac{{1}}{{x}} = 1

使用等价无穷小求极限：

乘除整体可使用等价无穷小替换

非零整体可使用 0 带 x

哑铃形式提出等价替换项

两项相减凑中间