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2.5 方阵的行列式

2.5 方阵的行列式

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更新于 2026-10-22
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抽象方阵的行列式公式

(1) 若 A\boldsymbol{A}A 是 nnn 阶矩阵，AT\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}AT 是 A\boldsymbol{A}A 的转置矩阵，则 ∣AT∣=∣A∣|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}| = |\boldsymbol{A}|∣。 (2) 若 是 阶矩阵，则 。 (3) （行列式乘法公式）若 都是 阶矩阵，则 。特别地 。 (4) 若 是 阶矩阵， 是 的伴随矩阵，则 。 (5) 若 是 阶可逆矩阵， 是 的逆矩阵，则 。 (6) 设 是 阶矩阵， 是 阶矩阵，则

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AT
∣
=
∣A∣

A\boldsymbol{A}A
nnn
∣kA∣=kn∣A∣|k\boldsymbol{A}| = k^n|\boldsymbol{A}|∣kA∣=kn∣A∣

A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B
nnn
∣AB∣=∣A∣∣B∣|\boldsymbol{AB}| = |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|∣AB∣=∣A∣∣B∣
∣A2∣=∣A∣2|\boldsymbol{A}^2| = |\boldsymbol{A}|^2∣A2∣=∣A∣2

A\boldsymbol{A}A
nnn
A∗\boldsymbol{A}^*A∗
A\boldsymbol{A}A
∣A∗∣=∣A∣n−1|\boldsymbol{A}^*| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1

A\boldsymbol{A}A
nnn
A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1
A\boldsymbol{A}A
∣A−1∣=∣A∣−1|\boldsymbol{A}^{-1}| = |\boldsymbol{A}|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1

A\boldsymbol{A}A
mmm
B\boldsymbol{B}B
nnn
∣AOCB∣=∣ADOB∣=∣A∣⋅∣B∣;\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{D} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = |\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{B}|;​A
∣OABC∣=∣DABO∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣.\begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{D} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{B}|.​

【注】一般情况下，∣A+B∣≠∣A∣+∣B∣|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \neq |\boldsymbol{A}| + |\boldsymbol{B}|∣A+B∣=∣A∣+∣B∣，∣A−B∣≠∣A∣−∣B∣|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}| \neq |\boldsymbol{A}| - |\boldsymbol{B}|，。

【例20】 设 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}A,B 均为 nnn 阶矩阵，∣A∣=2,∣B∣=−3|\boldsymbol{A}| = 2, |\boldsymbol{B}| = -3∣A∣=2,∣B∣=−3，则 ∣2A∗ ______。

解析： 【分析】∣2A∗B−1∣=2n∣A∗B−1∣=2n∣A∗∣∣B−1∣|2\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{B}^{-1}| = 2^n|\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{B}^{-1}| = 2^n|\boldsymbol{A}^*||\boldsymbol{B}^{-1}|∣2A∗B−1∣=2n∣ 。 本题用到的公式依次是 。

【例21】 设 A\boldsymbol{A}A 是四阶矩阵，如果 ∣A∣=−23|\boldsymbol{A}| = -\frac{2}{3}∣A∣=−32​，则 ∣3A∗+4A−1∣=|3\boldsymbol{A}^* + 4\boldsymbol{A}^{-1}| =∣3 ______。

解析： 【分析】因 A∗=∣A∣A−1=−23A−1\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1} = -\frac{2}{3}\boldsymbol{A}^{-1}A∗=∣A∣A−1=−3，又 ，则有 。

【2017年题22】 设 A\boldsymbol{A}A 是三阶矩阵，且 (A−E)−1=A2+A+E(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1} = \boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}(A−E)−1=A2+，则 ______。

解析： 【分析】因 (A−E)−1=A2+A+E(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1} = \boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}(A−E)−1=A2+A+E，有 ， 得 。 那么 ， 于是 ， 所以 。

【2012年题23】 设 A\boldsymbol{A}A 是三阶矩阵，∣A∣=3,A∗|\boldsymbol{A}| = 3, \boldsymbol{A}^*∣A∣=3,A∗ 是 A\boldsymbol{A}A 的伴随矩阵，交换 A\boldsymbol{A}A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 ，则 ______。

解析： 【分析】由行列式性质，知 ∣B∣=−∣A∣|\boldsymbol{B}| = -|\boldsymbol{A}|∣B∣=−∣A∣。 由 ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|\boldsymbol{AB}| = |\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{B}|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣ 和 立即有 。 或，因 ，有 ， 所以 。

C
​
OB​
​
=
​AO​DB​​=
∣A∣⋅
∣B∣;
O
B
​
AC​
​
=
​DB​AO​​=
(−1)mn∣A∣⋅
∣B∣.
∣A−
B∣=
∣A∣−
∣B∣
∣kA∣≠k∣A∣|k\boldsymbol{A}| \neq k|\boldsymbol{A}|∣kA∣=k∣A∣
B−1∣=|2\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{B}^{-1}| =
∣2A∗B−1∣=
A
∗
B−1
∣
=
2n∣A∗∣∣B−1∣
=2n∣A∣n−1∣B∣−1=−22n−13= 2^n|\boldsymbol{A}|^{n-1}|\boldsymbol{B}|^{-1} = -\frac{2^{2n-1}}{3}=2n∣A∣n−1∣B∣−1=−322n−1​
∣kA∣=kn∣A∣,∣AB∣=∣A∣∣B∣,|k\boldsymbol{A}| = k^n|\boldsymbol{A}|, |\boldsymbol{AB}| = |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|,∣kA∣=kn∣A∣,∣AB∣=∣A∣∣B∣,
∣A∗∣=∣A∣n−1,∣A−1∣=1∣A∣|\boldsymbol{A}^*| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}, |\boldsymbol{A}^{-1}| = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}∣A∗∣=∣A∣n−1,∣A−1∣=∣A∣1​
A
∗
+
4A−1∣=
2
​
A−1
∣A−1∣=1∣A∣=−32|\boldsymbol{A}^{-1}| = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} = -\frac{3}{2}∣A−1∣=∣A∣1​=−23​
∣3A∗+4A−1∣=∣−2A−1+4A−1∣=∣2A−1∣|3\boldsymbol{A}^* + 4\boldsymbol{A}^{-1}| = |-2\boldsymbol{A}^{-1} + 4\boldsymbol{A}^{-1}| = |2\boldsymbol{A}^{-1}|∣3A∗+4A−1∣=∣−2A−1+4A−1∣=∣2A−1∣
=24∣A−1∣=−3×23=−24= 2^4|\boldsymbol{A}^{-1}| = -3 \times 2^3 = -24=24∣A−1∣=−3×23=−24
A
+
E
∣A∣=|\boldsymbol{A}| =∣A∣=
(A−E)(A2+A+E)=E(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) = \boldsymbol{E}
(A−E)(A2+A+E)=E
A3=2E\boldsymbol{A}^3 = 2\boldsymbol{E}A3=2E
∣A3∣=∣2E∣|\boldsymbol{A}^3| = |2\boldsymbol{E}|∣A3∣=∣2E∣
∣A∣3=23∣E∣=8|\boldsymbol{A}|^3 = 2^3|\boldsymbol{E}| = 8∣A∣3=23∣E∣=8
∣A∣=2|\boldsymbol{A}| = 2∣A∣=2
B\boldsymbol{B}
B
∣BA∗∣=|\boldsymbol{BA}^*| =∣BA∗∣=
∣A∗∣=∣A∣n−1|\boldsymbol{A}^*| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}
∣A∗∣=∣A∣n−1
∣BA∗∣=∣B∣⋅∣A∗∣=−∣A∣⋅∣A∣2=−27|\boldsymbol{BA}^*| = |\boldsymbol{B}| \cdot |\boldsymbol{A}^*| = -|\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{A}|^2 = -27∣BA∗∣=∣B∣⋅∣A∗∣=−∣A∣⋅∣A∣2=−27
[010100001]A=B\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}​010​100​001​​A=B
BA∗=[010100001]AA∗=∣A∣[010100001]=3[010100001]\boldsymbol{BA}^* = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\boldsymbol{AA}^* = |\boldsymbol{A}|\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}BA∗=​010​100​
∣BA∗∣=33∣010100001∣=−27|\boldsymbol{BA}^*| = 3^3 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -27∣BA∗∣=33​010​100​001​​=−27
0
0
1
​
​
AA∗
=
∣A∣​010​100​001​​=
3​010​100​001​​