三角函数常用公式

三角函数常用公式大全

1.基本关系

\begin{align*} % 基本关系 &①\ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad &&②\ 1+\tan^2 x=\sec^2 x \\ &③\ 1+\cot^2 x=\csc^2 x \quad &&④\ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2} \\ &⑤\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \quad &&⑥\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \\ &⑦\ \sec x=\frac{1}{\cos x} \quad &&⑧\ \csc x=\frac{1}{\sin x} \\[4pt] \end{align*}

2.二倍角公式

\begin{align*} &①\ \sin2x=2\sin x\cos x \\ &②\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 \\ &③\ \tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \\[4pt] \end{align*}

3.半角公式

\begin{align*} &①\ \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \quad &&②\ \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \\ &③\ \tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x} \\[4pt] \end{align*}

4.和角公式

\begin{align*} &①\ \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y \\ &③\ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \\ &⑤\ \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot\tan y} \\ \end{align*}

5.和差化积

\begin{align*} &①\ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \\ &②\ \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \\ &③\ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \\ &④\ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \\[4pt] \end{align*}

6.积化和差

\begin{align*} &①\ \sin x\cos y=\frac12\left[\sin(x+y)+\sin(x-y)\right] \\ &②\ \cos x\sin y=\frac12\left[\sin(x+y)-\sin(x-y)\right] \\ &③\ \cos x\cos y=\frac12\left[\cos(x+y)+\cos(x-y)\right] \\ &④\ \sin x\sin y=-\frac12\left[\cos(x+y)-\cos(x-y)\right] \\[4pt] \end{align*}

7.特殊值

$\sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\ \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\ \sin\frac{\pi}{2}=\cos0=1$

三角函数常用公式大全

1.基本关系

\begin{align*} % 基本关系 &①\ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad &&②\ 1+\tan^2 x=\sec^2 x \\ &③\ 1+\cot^2 x=\csc^2 x \quad &&④\ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2} \\ &⑤\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \quad &&⑥\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \\ &⑦\ \sec x=\frac{1}{\cos x} \quad &&⑧\ \csc x=\frac{1}{\sin x} \\[4pt] \end{align*}

2.二倍角公式

\begin{align*} &①\ \sin2x=2\sin x\cos x \\ &②\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 \\ &③\ \tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \\[4pt] \end{align*}

3.半角公式

\begin{align*} &①\ \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} \quad &&②\ \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} \\ &③\ \tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x} \\[4pt] \end{align*}

4.和角公式

\begin{align*} &①\ \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y \\ &③\ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \\ &⑤\ \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot\tan y} \\ \end{align*}

5.和差化积

\begin{align*} &①\ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \\ &②\ \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \\ &③\ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \\ &④\ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \\[4pt] \end{align*}

6.积化和差

\begin{align*} &①\ \sin x\cos y=\frac12\left[\sin(x+y)+\sin(x-y)\right] \\ &②\ \cos x\sin y=\frac12\left[\sin(x+y)-\sin(x-y)\right] \\ &③\ \cos x\cos y=\frac12\left[\cos(x+y)+\cos(x-y)\right] \\ &④\ \sin x\sin y=-\frac12\left[\cos(x+y)-\cos(x-y)\right] \\[4pt] \end{align*}

7.特殊值

$\sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\ \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\ \sin\frac{\pi}{2}=\cos0=1$

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