洛必达法则
分子分母同时趋于 0 或无穷，极限无法直接四则运算判定，称为未定型（不定式）
七种未定式
00、∞∞ 、0⋅∞、∞−∞、1∞、00、∞0
注意
其中的 0 是无穷小
没有 ∞∞，它是定式
00 和 ∞∞ 易处理，故可将后面几种转换为前两种：
| 原型 | 转换后 | 例子 |
|---|
| 0⋅∞ | 0⋅01 或 ∞1⋅∞ | limx→0+xln(x)=limx→0+x1ln(x)=limx→0+−x=0 |
| ∞−∞ | 00 或 ∞∞ | limx→0x21−xarctan(x)1 通分后得 -3 |
| 1∞、00、∞0 | e0⋅∞ (ab=ebln(a)) | limx→0(1+x)ln(1+x)3 得 e3 |
注意：limx→0+xln(x) 这样幂函数乘以对数函数的情况，对数函数增长得慢，极限为 0
例&结论：
x→0+limxsin(x)=x→0+limexln(sinx)=e0=1
x→0+limxx=x→0+limexln(x)=e0=1
泰勒公式
常用麦克劳林公式
麦克劳林 = x0=0 的泰勒公式：
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+o(xn)
常用低阶麦克劳林展开式，仅保留核心低阶项，全部为 x→0 时的渐近展开（带佩亚诺余项）。
| 函数 | 低阶展开式 |
|---|
| 指数函数 ex | ex=1+x+2x2+o(x2) |
| 对数函数 ln(1+x) | ln(1+x)=x−2x2+o(x2) |
| 二项式函数 (1+x)α | (1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+o(x2) |
| 余弦函数 cosx | cosx=1−2x2+24x4+o(x4) |
| 正弦函数 sinx | sinx=x−6x3+o(x3) |
| 反正弦函数 arcsinx | arcsinx=x+6x3+o(x3) |
| 正切函数 anx | tanx=x+3x3+o(x3) |
| 反正切函数 arctanx | arctanx=x−3x3+o(x3) |
配套使用要点：
- 奇函数如 sinx 只有奇次项，偶次项系数全为 0
- 所有展开式仅在 x→0 时成立，x→∞ 等其他极限过程不可直接使用；
- 求极限时，展开到分子分母最低同阶无穷小即可；
- 加减运算中不可直接用等价无穷小替换，需用麦克劳林展开到足够阶数抵消高阶项。 等价无穷小本质是麦克劳林只保留第一项，精度不足时必须多展开一项。
- 复合代入：如 esinx，先把 sinx=x−6x3+o(x3) 整体代入 eu 展开；
- o(xm)+o(xn)=o(xmin{m,n})；xm⋅o(xn)=o(xm+n)；
