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微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用

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更新于 2026-08-26
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微分中值定理

“中值”指存在区间内部某一点 ξ\boldsymbol{\xi}ξ（中间值点）；“微分”指定理等式里出现导数（微分的微商）。 这类定理的共同特点：把区间上函数的整体变化（增量），和区间内部某一点的微分（导数）联系起来。 它不研究某一点的局部，而是用区间内部一点的微分性质，刻画整个区间函数的行为，因此称作微分中值定理。

拉格朗日中值定理

定理内容：
如果 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 可导，则至少存在一点 ξ∈，满足：

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文章大纲

  • 微分中值定理
    • 拉格朗日中值定理
    • 切线方程
  • 洛必达法则
    • 七种未定式
  • 泰勒公式
    • 常用麦克劳林公式
选项
文章 ID: 544

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(a,b)\xi\in(a,b)
ξ∈(a,b)
f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(ξ)=b−af(b)−f(a)​

其变形也叫有限增量公式，这是用导数表示有限区间上函数变化量的公式：

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

拉格朗日中值定理建立了函数增量与导数的联系。其几何意义是：连续光滑曲线在区间内必存在一点的切线，与两端点的割线平行。物理意义是：把x看作时间、f(x)看作位移，一段运动过程中，一定存在某一瞬间的瞬时速度等于全程平均速度。

拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。当f(a)=f(b)时，割线斜率为0，公式变为f'(ξ)=0，即为罗尔定理。

切线方程

斜渐近线斜率与切线斜率辨析：直线斜率明明是 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy​（增量比），普通斜线，只有过原点直线的 yx\dfrac{y}{x}xy​ 才等于斜率。为什么斜渐近线用 f(x)x\dfrac{f(x)}{x} 计算？ 时，截距 被无穷大稀释，。此时 就能等效算出直线真实斜率。 只是无穷远的等效求法；另外要注意 、 极限同时存在，才有斜渐近线。

洛必达法则

分子分母同时趋于 0 或无穷，极限无法直接四则运算判定，称为未定型（不定式）

七种未定式

00\frac{0}{0}00​、∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ 、0⋅∞0·\infty0⋅、、、、

注意
其中的 0 是无穷小
没有 ∞∞\infty^\infty∞∞，它是定式

00\frac{0}{0}00​ 和 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ 易处理，故可将后面几种转换为前两种：

原型转换后例子
0⋅∞0·\infty0⋅∞0⋅100·\frac{1}{0}0⋅01​ 或 1∞⋅∞\frac{1}{\infty}·\infty∞

注意：lim⁡x→0+xln⁡(x)\lim_{x\to0^+}x\ln(x)limx→0+​xln(x) 这样幂函数乘以对数函数的情况，对数函数增长得慢，极限为 0

例&结论：

lim⁡x→0+xsin⁡(x)=lim⁡x→0+exln⁡(sinx)=e0=1\lim_{x\to0^+}x^{\sin(x)} = \lim_{x\to0^+}e^{x\ln(sinx)} = e^0=1x→0+lim​xsin(x)=
lim⁡x→0+xx=lim⁡x→0+exln⁡(x)=e0=1\lim_{x\to0^+}x^{x} = \lim_{x\to0^+}e^{x\ln(x)} = e^0=1x→0+lim​xx=

泰勒公式

常用麦克劳林公式

麦克劳林 = x0=0x_0=0x0​=0 的泰勒公式： f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)f(x)=

常用低阶麦克劳林展开式，仅保留核心低阶项，全部为 x→0x\to0x→0 时的渐近展开（带佩亚诺余项）。

函数低阶展开式
指数函数 exe^xexex=1+x+x22+o(x2)\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)ex=1+x+

配套使用要点：

  1. 奇函数如 sinx 只有奇次项，偶次项系数全为 0
  2. 所有展开式仅在 x→0x\to0x→0 时成立，x→∞x\to\inftyx→∞ 等其他极限过程不可直接使用；
  3. 求极限时，展开到分子分母最低同阶无穷小即可；
  4. 加减运算中不可直接用等价无穷小替换，需用麦克劳林展开到足够阶数抵消高阶项。 等价无穷小本质是麦克劳林只保留第一项，精度不足时必须多展开一项。
  5. 复合代入：如 esin⁡xe^{\sin x}esinx，先把 sin⁡x=x−x36+o(x3) 整体代入 展开；

408 计算机组成原理真题 IO 系统

更新于2026-09-30

  • 8.1~8.4多元函数的基本概念
    • xf(x)​
    x→∞x\to\inftyx→∞
    bbb
    kx+bx=k+bx→k\dfrac{kx+b}{x}=k+\dfrac{b}{x}\to kxkx+b​=k+xb​→k
    lim⁡x→∞f(x)x\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}x→∞lim​xf(x)​
    f(x)x\dfrac{f(x)}{x}xf(x)​
    kkk
    bbb
    ∞
    ∞−∞\infty-\infty∞−∞
    1∞1^\infty1∞
    000^000
    ∞0\infty^0∞0
    1
    ​
    ⋅
    ∞
    lim⁡x→0+xln⁡(x)=lim⁡x→0+ln⁡(x)1x=lim⁡x→0+−x=0\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0^+}-x=0limx→0+​xln(x)=limx→0+​x1​ln(x)​=limx→0+​−x=0
    ∞−∞\infty -\infty∞−∞00\frac{0}{0}00​ 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​lim⁡x→01x2−1xarctan⁡(x)\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\arctan(x)}limx→0​x21​− 通分后得 -3
    1∞1^\infty1∞、000^000、∞0\infty^0∞0e0⋅∞e^{0·\infty}e0⋅∞ (ab=ebln⁡(a)a^b=e^{b\ln(a)}ab=ebln(a))lim⁡x→0(1+x)3ln⁡(1+x)\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{3}{\ln(1+x)}}limx→0​(1+x)ln(1+x) 得
    x→0+lim​exln(sinx)=
    e0=
    1
    x→0+
    lim
    ​
    exln(x)
    =
    e0=
    1
    f(0)+
    f′(0)x+
    2!f′′(0)​x2+
    ⋯+
    n!f(n)(0)​xn+
    o(xn)
    2
    x2
    ​
    +
    o(x2)
    对数函数 ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x)ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\displaystyle \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)ln(1+x)=x−2x2​+o(x2)
    二项式函数 (1+x)α(1+x)^\alpha(1+x)α(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)\displaystyle (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+o(x2)
    余弦函数 cos⁡x\cos xcosxcos⁡x=1−x22+x424+o(x4)\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)cosx=1−2x2​+24x4​+o(x4)
    正弦函数 sin⁡x\sin xsinxsin⁡x=x−x36+o(x3)\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)sinx=x−6x3​+o(x3)
    反正弦函数 arcsin⁡x\arcsin xarcsinxarcsin⁡x=x+x36+o(x3)\displaystyle \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)arcsinx=x+6x3​+o(x3)
    正切函数 anx an xanxtan⁡x=x+x33+o(x3)\displaystyle \tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)tanx=x+3x3​+o(x3)
    反正切函数 arctan⁡x\arctan xarctanxarctan⁡x=x−x33+o(x3)\displaystyle \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)arctanx=x−3x3​+o(x3)
    \sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+o(x^3)
    sinx=x−6x3​+o(x3)
    eue^ueu
  • o(xm)+o(xn)=o(xmin⁡{m,n})o(x^m)+o(x^n)=o(x^{\min\{m,n\}})o(xm)+o(xn)=o(xmin{m,n})；xm⋅o(xn)=o(xm+n)x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})xm⋅o(xn)=o(xm+n)；

    • 8.1~8.4多元函数的基本概念

    更新于2026-09-30

    xarctan(x)
    1
    ​
    3
    ​
    e3e^3e3