1. 分块矩阵的概念
将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵（或子块），把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。
由于不同的需要，同一个矩阵可以用不同的方法分块，构成不同的分块矩阵。
其中 αi=[ai1,ai，是 的子矩阵， 是以行分块的分块矩阵。
其中 βj=[b1j,b，是 的子矩阵， 是以列分块的分块矩阵。
其中 ，均是 的子矩阵。
2. 分块矩阵的运算
想对矩阵适当地分块处理（要保证相对应子块的运算能够合理进行），可以遵循下面的运算法则：
[AC 若 B,C 分别是 m 阶与 s 阶矩阵，则
[BO 若 B,C 分别是 m 阶与 n 阶可逆矩阵，则
相关例题
【例17】 已知 B,C 分别是 m 阶与 n 阶可逆矩阵，证明：[B 可逆，且 。
解析： 【证】由 B,C 均可逆，有 ，所以 可逆。
设 ，则
，
即
由(1)有 。
由(2)，因 可逆，有 。
类似地 。所以 。
例如 。
因为 。
【例18】 已知 X=ABA，其中 ，则 ______。
解析： 【分析】把 A,B 各分成 4 个 2×2 的小矩阵，即
。
由于 ，就有
，
即 。
【例19】 已知 A,B 是 n 阶矩阵。
(1) ______。
(2) ______。
解析： 【分析】
(1) ，
(2) 。
am1
a12a22⋮am2
⋯⋯⋯
a1na2n⋮amn
=
2
,
⋯
,
ain
]
,
i
=
1,2,⋯,m
B=b11b21⋮bm1⋮⋮⋮⋮b12b22⋮bm2⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋮b1nb2n⋮bmn=[β1,β2,⋯,βn],
2j
,
⋯
,
bmj
]T
,
j
=
1,2,⋯,n
C=c11c21c31c41c12c22c32c42⋮⋮⋮⋮00c33c4300c34c4400c35c45=[C1C3OC4 C1=[c11c21c12c22],O=[000000],C3=[c31c41c32c[c33c43c34c
[A1A3A2A4]+[B1B3B2B[A1+B1A3+B3
[ACBD][XZYW]=[AX+BZCX+DZAY+BWCY+DW];
BD
]
T
=
[ATBTCTDT].
O
C
]
n
=
[BnOOCn].
[BOOC]−1=[B−1OOC−1],[OCBO]−1=[OB−1C−1O].
O
OC
]
[BOOC]−1=[B−1OOC−1]
B
O
OC
=
∣B∣⋅
∣C∣=
0
[BOOC]
[BOOC]−1=[XZYW]
[BOOC][XZYW]=[EOOE]
⎩⎨⎧BX=E,BY=O,CZ=O,CW=E,(1)(2)(3)
X=B−1
Y=B−1O=O
Z=O,W=C−1 [BOOC]−1=[B−1OOC−1]
52002100001
[5221]−1=[1−2−25],[11−2131[1−121] A=1001011001−10100−1,B=00010010010 A=10⋯0101⋯10⋮⋮⋯⋮⋮01⋯−1010⋯0−1=[ECC−E],B=00⋯0100⋯10⋮[OCCO]
C2=[0110][0110]=E
X=[ECC−E][OC
X=2000020000−20000−2 [EOEE][ABBA][EO−EE]=
ABBA= [EOEE][ABBA][EO−EE]=[A+BBA+BA][EO[A+BBOA−B]
ABBA=A+BBOA−B∣A+B∣⋅∣A−B∣
]
,
42
]
,
C4
=
44
c35c45
]
4
]
=
A2+B2A4+B4
]
;
(4)
1
00−21
−1
=
1−200−25000031−31003231 ]
−1
=
0
1000
⋮
⋯
⋮
⋮
01⋯00
10⋯00
=
CO
]
[ECC−E]
=
[E−CCE][ECC−E]=
[2EOO−2E]
−EE
]
=
=
