数二 | 花野猫的数字花园

科目	分数	占比	题型	数量
高等数学	120	80%	选择题	6
			填空题	5
			大题	7
线性代数	30	20%	选择题	2
			填空题	1
			大题	2

极限

极限：等价无穷小、洛必达、泰勒公式

间断点

不连续：

$f(x) \neq \lim_{{x \to c}} f(x)$

类型	定义
可去间断点	设函数 $f(x)$ 在点 $c$ 的某个去心邻域内有定义。如果存在有限极限 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ ，则称 $f(x)$ 在点 $c$ 处有一个可去间断点。
跳跃间断点	设函数 $f(x)$ 在点 $c$ 的某个去心邻域内有定义。如果存在左极限 $\lim_{x \to c^-} f(x) = L_1$ 和右极限 $\lim_{x \to c^+} f(x) = L_2$ ，且 $L_1 \neq L_2$ ，则称 $f(x)$ 在点 $c$ 处有一个跳跃间断点。
无穷间断点	设函数 $f(x)$ 在点 $c$ 的某个去心邻域内有定义。如果存在极限 $\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty$ ，则称 $f(x)$ 在点 $c$ 处有一个无穷间断点。
震荡间断点	设函数 $f(x)$ 在点 $c$ 的某个去心邻域内有定义。如果在任意趋近于点 $c$ 的数列中， $f(x)$ 的值不收敛于一个确定的数值，而是在不同的数值之间震荡变化，那么称 $f(x)$ 在点 $c$ 处有一个震荡间断点。

等价无穷小

因式可直接替换，加减法不要换

泰勒公式

泰勒公式保证了多项式与原函数在 x₀处 0 到无穷大阶导都相同

泰勒公式是一种用多项式逼近一个函数的方法。它基于函数在某个点附近的导数值，通过多项式展开来近似原函数。给定一个函数 $f(x)$ 和一个点 $a$ ，泰勒公式可以表示为：

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + \frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n$

通过选择合适的阶数 $n$ ，我们可以得到一个多项式，该多项式在点 $a$ 附近与原函数 $f(x)$ 的值比较接近。这样，可以使用泰勒公式来拟合原函数，并在需要的时候进行近似计算。需要注意的是，泰勒公式只在给定点附近有效，随着距离点 $a$ 的远离，逼近的精度可能会降低。因此，在实际应用中，我们通常会选择合适的点和阶数来进行拟合，以在特定范围内获得较好的逼近效果。

函数	泰勒展开公式
$e^x$	$e^x = 1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \dots$
$\sin(x)$	$\sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} - \dots$
$\cos(x)$	$\cos(x) = 1 - \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} - \dots$
$\ln(1+x)$	$\ln(1+x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} - \dots$
$\tan(x)$	$\tan(x) = x + \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{2x^5}}{{15}} + \dots$
$\frac{1}{{1-x}}$	$\frac{1}{{1-x}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$
$\sqrt{1+x}$	$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{{x}}{{2}} - \frac{{x^2}}{{8}} + \dots$
$\arcsin(x)$	$\arcsin(x) = x + \frac{{x^3}}{{6}} + \frac{{3x^5}}{{40}} + \dots$
$\arctan(x)$	$\arctan(x) = x - \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{x^5}}{{5}} - \dots$
$\frac{1}{{1+x}}$	$\frac{1}{{1+x}} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$

渐近线

类型	定义	表达式	举例
水平	无穷远处的函数值趋近于常数	$\lim_{x \to \infty} f(x) = c$ 或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = c$	y=arctanx
垂直	某点左极限或右极限为无穷大，通常看无定义点	$\lim_{{x \to x_0^-}} f(x) = \infty$ 或 $\lim_{{x \to x_0^+}} f(x) = \infty$
斜	在无穷远处斜率趋近于常数	$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = k\neq 0$

同一侧，水平和垂直渐近线不会同时存在

科目

分数

占比

题型

数量

高等数学

120

80%

选择题

填空题

大题

线性代数

20%

选择题

填空题

大题

间断点

不连续：

f(x) \neq \lim_{{x \to c}} f(x)

类型

定义

可去间断点

设函数

f(x)

在点

c

的某个去心邻域内有定义。如果存在有限极限

\lim_{x \to c} f(x) = L

，则称

f(x)

在点

c

处有一个可去间断点。

跳跃间断点

设函数

f(x)

在点

c

的某个去心邻域内有定义。如果存在左极限

\lim_{x \to c^-} f(x) = L_1

和右极限

\lim_{x \to c^+} f(x) = L_2

，且

L_1 \neq L_2

，则称

f(x)

在点

c

处有一个跳跃间断点。

无穷间断点

设函数

f(x)

在点

c

的某个去心邻域内有定义。如果存在极限

\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty

，则称

f(x)

在点

c

处有一个无穷间断点。

震荡间断点

设函数

f(x)

在点

c

的某个去心邻域内有定义。如果在任意趋近于点

c

的数列中，

f(x)

的值不收敛于一个确定的数值，而是在不同的数值之间震荡变化，那么称

f(x)

在点

c

处有一个震荡间断点。

等价无穷小

因式可直接替换，加减法不要换

泰勒公式

泰勒公式保证了多项式与原函数在 x₀处 0 到无穷大阶导都相同

泰勒公式是一种用多项式逼近一个函数的方法。它基于函数在某个点附近的导数值，通过多项式展开来近似原函数。给定一个函数

f(x)

和一个点

a

，泰勒公式可以表示为：

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + \frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n

通过选择合适的阶数

n

，我们可以得到一个多项式，该多项式在点

a

附近与原函数

f(x)

的值比较接近。这样，可以使用泰勒公式来拟合原函数，并在需要的时候进行近似计算。需要注意的是，泰勒公式只在给定点附近有效，随着距离点

a

的远离，逼近的精度可能会降低。因此，在实际应用中，我们通常会选择合适的点和阶数来进行拟合，以在特定范围内获得较好的逼近效果。

函数

泰勒展开公式

e^x

e^x = 1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \dots

\sin(x)

\sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} - \dots

\cos(x)

\cos(x) = 1 - \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} - \dots

\ln(1+x)

\ln(1+x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} - \dots

\tan(x)

\tan(x) = x + \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{2x^5}}{{15}} + \dots

\frac{1}{{1-x}}

\frac{1}{{1-x}} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots

\sqrt{1+x}

\sqrt{1+x} = 1 + \frac{{x}}{{2}} - \frac{{x^2}}{{8}} + \dots

\arcsin(x)

\arcsin(x) = x + \frac{{x^3}}{{6}} + \frac{{3x^5}}{{40}} + \dots

\arctan(x)

\arctan(x) = x - \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{x^5}}{{5}} - \dots

\frac{1}{{1+x}}

\frac{1}{{1+x}} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots

渐近线

类型

定义

表达式

举例

水平

无穷远处的函数值趋近于常数

\lim_{x \to \infty} f(x) = c

或

\lim_{x \to -\infty} f(x) = c

y=arctanx

垂直

某点左极限或右极限为无穷大，通常看无定义点

\lim_{{x \to x_0^-}} f(x) = \infty

或

\lim_{{x \to x_0^+}} f(x) = \infty

斜

在无穷远处斜率趋近于常数

\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = k\neq 0

同一侧，水平和垂直渐近线不会同时存在